Приделы и неопредилености Бураковсая

Предел функции
Предел функции . Число L называется пределом функции y = f ( x ) при x, стремящемся к a :
если для любого Е > 0 найдётся такое положительное число дельта зависящее от Е , что из условия | x- a | < Дельта следует
| f ( x ) – L | < Е.

Неопределенности пределов
При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Основные виды неопределенностей
ноль делить на ноль (0 на 0),
бесконечность делить на
бесконечность , ноль умножить на
бесконечность , бесконечность минус
бесконечность ,единица в степени
бесконечность , ноль в степени
ноль , бесконечность в степени
ноль .
!ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности
Позволяет:
--упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
--использование замечательных пределов;
--применение правила Лопиталя;
--использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным(использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).
.

Правило Лопиталя
Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль , бесконечность делить на бесконечность .
К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на бесконечность и бесконечность минус бесконечность .
Дифференцирование функции и нахождение производной является неотъемлемой частью правила Лопиталя, так что рекомендуем обращаться к этому разделу.
Формулировка правила Лопиталя следующая:
Если , и если функции f(x) и g(x) –
дифференцируемы в окрестности точки х0, то
Совет: В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Замена эквивалентных бесконечно малых
Замена производится на основе таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Таблица неопределенностей.
Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Примеры
№1
Решения
Степень числителя 3, степень знаменателя 10/3. Разделим и числитель и знаменатель на
Ответ

№2
Решения
Подставляем значения
Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.
Ответ: