Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1. Доказать что для любого хϵR
Доказательство. 1 способ.
2 способ.
для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.
для хϵR
для хϵR
для хϵR т. к.

для любых действительных х и у
Пример 2. Доказать, что для любых x и y
Доказательство.
Пример 3. Доказать, что
Доказательство.
Пример 4. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.

2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода.
Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что .
Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.
Ч.Т.Д.

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:
, что является обоснованием исходного неравенства.

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство
, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

для хϵR
для хϵR
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена , если
и .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть , a=2, 2>0
=>

для хϵR
Пример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D<0
D= => P(x)>0 и
верно при любых действительных значениях х и у.

Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть ,
Это означает, что для любых действительных у и неравенство
выполняется при любых действительных х и у.
для хϵR

Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , ,
.
Получаем исследуемое неравенство

для аϵR
Использование свойств функций.
Пример 10. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
, на R =>
( )* ( )>0, что доказывает неравенство

Пример 11. Докажем, что для любых
Доказательство.
на R.
Если , то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)

*3
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.
Сравним и : ,
Имеем:
Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического
, где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

Пусть n=2, , , тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, , , , тогда
Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.

Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; справедливо соотношение
Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.

Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться для выражений вида
Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения
, получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось.