Прикладная математика и иформатика

Метод Гаусса решения СЛАУ.
Модификации.
Варианты распараллеливания
Докладчик: Кожухов А.Е.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Задание СЛАУ
или

При матричном задании СЛАУ имеют место обозначения:
А – матрица коэффициентов системы;
b – вектор свободных членов уравнений системы;
x – вектор неизвестных величин системы.
Задание СЛАУ

Задачи, сводимые к решению СЛАУ
К решению систем линейных алгебраических уравнений сводимы задачи из многих областей физики:
 электромагнитной теории;
электродинамики;
теплопередачи;
диффузии;
квантовой механики.

Особенности постановки задач:
являются конечно–разностными или
конечно–элементными моделями;
задаются дифференциальными
уравнениями с начальными или
краевыми условиями.
Задачи, сводимые к решению СЛАУ

Классы методов решения СЛАУ
Прямые методы:
а) метод Холесского для плотных матриц;
б) метод Холесского для ленточных матриц;
в) метод вычисления явного обращение матриц;
г) метод Холесского для разреженных матриц;
д) метод быстрого преобразования Фурье;
е) метод блочно–циклической редукции;
ж) метод исключения Гаусса.

Итерационные методы:
а) метод Якоби;
б) метод Гаусса–Зейделя;
в) метод сопряжённых градиентов;
г) метод последовательной верхней релаксации;
д) метод ускорения Чебышева с симметричной последовательной верхней релаксации;
е) многосеточный метод.
Классы методов решения СЛАУ

МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ГАУССА

Шаг прямого хода
Деление коэффициентов текущего уравнения на коэффициент при исключаемой переменной:

Шаг прямого хода
Для всех уравнений со 2–ого по n–ое выполнить действия:
умножение обеих частей 1–ого уравнения на взятый с
обратным знаком коэффициент при первом члене
текущего уравнения;
сложение результатов предыдущей операции с
коэффициентами и свободным членом текущего
уравнения.

Из уравнений со 2–ого по n–ое можно составить эквивалентную исходной систему уравнений, но с количеством неизвестных (n–1).
На k–ом шаге рассматривается система из (n–k+1) уравнений с (n–k+1) неизвестными. Выполнив очередной шаг метода Гаусса по отношению к этой системе уравнений, получим систему с (n–k+1).
После выполнения n шагов метода Гаусса матрица коэффициентов системы уравнений будет верхней треугольной
Шаг прямого хода

Результат выполнения прямого хода метода Гаусса
…

Обратный ход метода Гаусса – вычисление значений переменных, начиная с xn до x1.

МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ГАУССА

Метод Гаусса в матричной форме
Пусть задана исходная система уравнений. Тогда на исключение неизвестной xi из уравнений системы осуществляется следующим образом:
умножением матрицы коэффициентов A(i) слева на диагональную матрицу Di;
умножением Di * A(i) слева на матрицу Qi.

Метод Гаусса в матричной форме

Метод Гаусса в матричной форме