Примеры комбинаторных задач

Перебор возможных вариантов
Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека —
Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет
пару для участия в соревнованиях. Сколько существует
вариантов выбора такой пары?
Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары:
АГ, АС, АФ.
Пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов:
ГС, ГФ.
Пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев: СФ.
Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.
Итак, мы получили шесть пар:
АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ.
Значит, всего существует шесть вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Перестановки
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.
Пример. Пусть имеются три книги. Обозначим их
буквами а, Ъ и с. Эти книги можно расставить на полке по-разному.
Если первой поставить книгу а, то возможны такие расположения книг: abc, acb.
Если первой поставить книгу Ь, то возможными являются такие расположения:bac, bca.
И наконец, если первой поставить книгу с, то получим такие расположения:cab, cba.
Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.

Перестановки
Р n =1* 2*3* (n-2)(n- 1) n
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Задача . Сколькими способами 4 человека могут
разместиться на четырехместной скамейке ?

Размещения
Пусть имеется 4 шара(обозначим a,b,c,d) и 3 пустые
ячейки. Одна из возможных троек:
Выбирая по-разному 1-й, 2-й и 3-й шары, получаем различные упорядоченные тройки шаров, например:
Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из 4- х элементов, называют размещением из 4-х элементов по 3.
a
b
c
c
a
b
b
a
c
d
c
b

Размещения
Размещением из n элементов по k (k<= n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.
Задача. Учащиеся 2-го класса изучают 8 предметов.
Сколькими способами можно составить распи-
сание на один день, чтобы в нем было 4 раз-
личных предмета ?

Сочетания
Пусть имеются 5 гвоздик разного цвета.
Обозначим их a,b,c,d,e. Требуется составить букет
из 3-х цветов.
Если в букет входит цветок а, то можно составить такие букеты:
abc,abd,abe,acd,ace,ade.
Если в букет не входит а, но входит гвоздика b, то такие :
bcd,bce,bde.
Наконец, если в букет входят ни а, ни b,то возможен только 1 вариант составления букета:
cde.
Мы указали все возможные способы составления букетов, в котором по-разному сочетаются 3 гвоздики из данных 5.
Это сочетания из 5 элементов по 3.

Сочетания
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов .
Задача . Из 15 членов туристической группы
надо выбрать трех дежурных. Сколькими
способами можно сделать этот выбор?