Проекции прямой. Лекция 2

Положение прямой m в пространстве определяют две произвольные точки А и В, лежащие на этой прямой. Это наиболее удобный способ задания прямой. Прямая линия m считается заданной, если на комплексном чертеже построить проекции двух ее точек А и В
Пространственная картина
Проекции прямой

Проекции прямой m проходят через пары соответствующих проекций точек: горизонтальная проекция прямой m1 – через А1 и В1 ; фронтальная проекция прямой m2 – через А2 и В2
x
Пространственная картина
Комплексный чертеж
Проекции прямой

Для построения профильной проекции прямой на безосном чертеже проводят постоянную чертежа k под углом 45°. С ее помощью по линиям связи получают профильную проекцию прямой А3 В3 , положение которой определяется разностями координат Δz и Δy
k
45°
Безосным называется чертеж, на котором
отсутствуют оси проекций
Безосный чертеж
45°

Метрические характеристики отрезка:
н.в. – натуральная величина отрезка;
α – угол наклона отрезка к плоcкости П1 ;
β – угол наклона отрезка к плоcкости П2 ;
γ – угол наклона отрезка к плоcкости П3
B
A
Положение прямой относительно плоскостей проекций
Н.в.

На чертеже проекции отрезка прямой общего положения имеют искаженные метрические характеристики, ни одна из ее проекций не параллельна осям координат и не перпендикулярна к ним
Прямая общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций
Прямая общего положения

У прямой частного положения на комплексном чертеже определяются натуральные величины каких-либо ее характеристик. Прямая уровня про-ецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой она парал-лельна. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку
Прямая частного положения параллельна или перпендикулярна одной из плоскостей проекций
Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня:
Горизонтальная прямая уровня (горизонталь) h ⎢⎢ П1
Фронтальная прямая уровня (фронталь) f ⎢⎢ П2
Профильная прямая p ⎢⎢П3
Прямая, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей прямой:
Горизонтально проецирующая прямая ⊥ П1
Фронтально проецирующая прямая ⊥ П2
Профильно проецирующая прямая ⊥ П3
Прямые частного положения

Все точки прямой АВ равноудалены от горизонтальной плоскости про-екций П1 и имеют одинаковую аппликату z= const. Фронтальная проекция горизонтали А2 В2 параллельна оси х. Горизонтальная проекция горизон-тали А1 В1 , углы β и γ изображаются в натуральную величину на П1
Пространственная картина
Комплексный чертеж
x
h
B
A
Прямые уровня: горизонталь (h ⎢⎢П1)

Пространственная картина
Комплексный чертеж
x
B
f
Прямые уровня: фронталь (f ⎢⎢П2)
A
Все точки прямой АВ равноудалены от фронтальной плоскости проекций П2 и имеют одинаковую координату y (y= const). Горизонтальная проекция фронтали А1 В1 параллельна оси х. Фронтальная проекция фронтали А2 В2 , углы α и γ изображаются в натуральную величину на П2

Все точки прямой АВ равноудалены от профильной плоскости проекций П3 и имеют одинаковую координату х (х= const). Горизонтальная А1 В1 и фронтальная А2 В2 проекции прямой перпендикулярны оси х. Профиль-ная проекция А3 В3 , углы α и β имеют натуральную величину на П3
Пространственная картина
Комплексный чертеж
z
O
x
y1
y3
B
A
р
Прямые уровня: профильная прямая (р ⎢⎢П3)

x
Пространственная картина
Комплексный чертеж
A
B
Горизонтально проецирующая прямая (⊥П1)
Прямая перпендикулярна П1 , поэтому ее горизонтальная проекция А1 В1 вырождается в точку. Относительно П2 и П3 прямая параллельна и изображается на этих плоскостях проекций в натуральную величину. Проекция А2 В2 перпендикулярна оси координат х

Прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2 и парал-лельна П1 и П3 . Фронтальная проекция А2 В2 вырождается в точку. На П1 и П3 прямая проецируется в натуральную величину. Проекция А1 В1 перпендикулярна оси координат х
Пространственная картина
Комплексный чертеж
A
B
x
Фронтально проецирующая прямая (⊥П2)

Прямая перпендикулярна П3 , ее профильная проекция А3 В3 вырождается в точку. Относительно П1 и П2 прямая параллельна, на этих плоскостях ее проекции имеют натуральную величину. Горизонтальная и фронталь-ная проекции прямой перпендикулярны осям y и z , соответственно
Пространственная картина
Комплексный чертеж
B
A
x
z
y1
y3
Профильно проецирующая прямая (⊥П3)

Преобразование
чертежа прямой общего положения.

x1
Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П2 на новую плоскость проекций П4 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П1 (координата z) остается неизменным
Способ перемены плоскостей проекций
Схема:

Способ перемены плоскостей проекций
x
x2
В
А
Схема:
П1 → П5
y⎪П5= y⎪П1
П5 ⊥ П2
П5 ∩ П2=x2
Заменим исходную горизонтальную плоскость проекций П1 на новую плоскость проекций П5 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П2 (координата у) остается неизменным

Определение н.в. отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций (способ замены плоскостей проекций)
Ось х1 новой плоскости проекций П4 проведем параллельно горизон-тальной проекции отрезка А1 В1 . В этом преобразовании сохраняются z-координаты точек. На П4 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона α к плоскости проекций П1

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций
x
А1
B1
А2
B2
П2
П1
x1
П4
П1
А4
В4
α
Ось х2 новой плоскости проекций П5 проведем параллельно фронталь-ной проекции отрезка А2 В2 . В этом преобразовании сохраняются y - координаты точек. На П5 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона β к плоскости проекций П2

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций
Данный отрезок АВ занимает общее положение, преобразуем его во фронтальную прямую уровня путем перемещения концов отрезка по горизонтальным плоскостям уровня согласно схемы

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций
Схема:

Взаимное положение двух прямых
Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку
B
A
D
C
K
x
C
2
АВ ∩ СD = K(К1 , К2)
А1 В1 ∩ С1 D1 = K1
А2 В2 ∩ С2 D2 = K2
Точка пересечения К прямых АВ и СD проецируется в точки пересече-ния соответствующих проекций прямых: на П1 - это точка К1 ; на П2 - точка К2 . Точки пересечения К1 и К2 одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи

Взаимное положение двух прямых
Параллельные прямые не имеют общих точек
Проекции параллельных прямых не пересекаются. Одноименные проекции прямых параллельны или совпадают, если параллельные прямые лежат в проецирующей плоскости
n
m
x
n
1
m ⎟⎟ n
m1 ⎟⎟ n1
m2 ⎟⎟ n2

Взаимное положение двух прямых
Скрещивающиеся прямые не пересекаются и
не параллельны между собой
Проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны, т.к. пря-мые m и n лежат в параллельных плоскостях. Проекции скрещивающихся прямых могут иметь пересечение, т.к. прямые m и n не параллельны меж-ду собой. 1 и 2 – конкурирующие точки, принадлежащие разным прямым
m
n
m1 ⎟⎟ n1
m2 ∩ n2

Теорема о проецировании прямого угла
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения
Для доказательства продолжим сторону угла АВ до пересечения с ее проекцией А1 В1 в точке М1 . Через точку М1 проведем прямую М1 N1 ⎟⎟ В1 C1 .
Т. к. BC⎟⎟ П1 , то BC⎟⎟ В1 С1 . Значит, М1 N1⎟⎟ ВС и ∠BM1 N1 =90° . По теореме о 3-х перпендикулярах ∠B1 M1 N1 =90° , следовательно, и ∠A1 В1 С1 = ∠ϕ1 =90°
Дано:
Доказать:

Теорема о проецировании прямого угла
Если на чертеже есть изображение прямого угла, то одна из его сторон обязательно натуральная величина

Теорема о проецировании прямого угла
Задача:
Построить проекции перпендикуляра, проведенного из точки С к прямой f
D2 → D1
C2D2 ⊥ f2
D1 ∪ C1
Прямая f является фронталью и проецируется на П2 в натуральную величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С2 D2 перпендикулярна фронтальной проекции прямой f . Определяем основа-ние перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С1 D1

Метрические задачи
Задача 1.
Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций
Искомое расстояние есть перпендикуляр. Введем новую плоскость проекций П4 параллельно прямой l так, чтобы прямая заняла частное положение уровня. По теореме о проецировании прямого угла проекция искомого расстояния А4К4 ⊥ l4 определяется на плоскости проекций П4
П4 ⊥ П1
П4⎟⎟ l