Прямоугольные треугольники

Для продолжения работы выбери
необходимый раздел.
Свойства прямоугольных
треугольников
Признаки равенства
прямоугольных треугольников
Проверь себя

Прямоугольные треугольники
Определение:
Треугольник, в котором один угол прямой, называется прямоугольным.
гипотенуза
катет
катет
А
В
С
∠ С – прямой.

Реши задачи по готовым чертежам
А
В
С
Найти ∠А и ∠В.
А
С
С
В
∠А : ∠В = 1 : 2
∠А на 20°меньше ∠В
А
В
30°
D
A
C
B
Доказать: AD = ½AB
D
A
C
B
AD = ½AB
Найти: углы ΔABD.

1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.
2. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
3. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
А
С
В
А
С
В
А
С
В
30°
подсказка
подсказка

Дострой свой треугольник до равностороннего со стороной, равной гипотенузе.
Подсказка

Дострой свой треугольник до равностороннего со стороной, равной гипотенузе.
Подсказка
D
A
C
B

Свойства прямоугольных
треугольников
Это интересно!
1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Уголковый отражатель
.
Падающий луч
Отражённый луч
зеркало
зеркало
Падающий луч и отражённый луч параллельны.
Уголковый отражатель используется в технике.

Реши задачи по готовым чертежам
А
В
С
1. Найти ВС.
10
60°
Ответ:
5
А
С
В
D
8
45°
2. Найти: АВ.
Ответ:
16
150°
150°
20
А
С
А1
В
6. Найти: СА1
Ответ:
10
К
Р
С
Е
9
5. Найти: СЕ, РС
Ответ:
4,5; 13,5
7
7
3,5
А
D
C
B
4. Найти: ∠Β, ∠D.
Ответ:
60°, 60°
А
Е
С
В
60°
30°
3. Найти: АЕ.
7
Ответ:
14

признаки равенства прямоугольных треугольников

Первый признак равенства прямоугольных треугольников
А
С
В
А1
С1
В1
Дано: треугольники АВС и А1В1С1 - прямоугольные, АС = А1С1, ВС = В1С1.
Доказать: ΔАВС= ΔА1В1С1.
Доказательство:
АС = А1С1(по условию), ВС = В1С1 (по условию), ∠С = ∠С1 = 90° ⇒
ΔАВС= ΔА1В1С1 (по двум сторонам и углу между ними).
(по двум катетам)

Второй признак равенства прямоугольных треугольников
(по катету и острому углу)
Дано: треугольники АВС и А1В1С1 - прямоугольные, АС = А1С1, ∠А = ∠А1 .
Доказать: ΔАВС= ΔА1В1С1.
Доказательство:
АС = А1С1(по условию), ∠А = ∠А1 (по условию), ∠С = ∠С1 = 90° ⇒
ΔАВС= ΔА1В1С1 (по стороне и двум прилежащим углам).
А
С
В

Третий признак равенства прямоугольных треугольников
Дано: треугольники АВС и А1В1С1 - прямоугольные, АВ = А1В1, ∠А = ∠А1 .
Доказать: ΔАВС= ΔА1В1С1.
Доказательство:
АВ = А1В1(по условию), ∠А = ∠А1 (по условию); ∠В = 90° - ∠А, ∠В1 = 90° - ∠А1, значит, ∠В = ∠В1
⇒ ΔАВС= ΔА1В1С1 (по стороне и двум прилежащим углам).
(по гипотенузе и острому углу)
А
С
В
А1
С1
В1

Четвёртый признак равенства прямоугольных треугольников
Дано: треугольники АВС и А1В1С1 - прямоугольные, АВ = А1В1, АС = А1С1 .
Доказать: ΔАВС= ΔА1В1С1.
Доказательство:
(рассмотри самостоятельно на стр. 78 учебника)
(по гипотенузе и катету)
В2
А
С
В
А1
С1
В1

В
D
C
Е
А
46°
44°
Доказать: ВС⊥CD
C
Е
D
А
В
35°
55°
Найти: ∠АСЕ
Н
В
С
А
60°
Дано: ВН=4 см.
Найти: АН.
47°
А
В
О
С
D
Дано: АВ || CD
Найти:
углы ΔCDO
Доказать:MC – медиана ΔKMN
D
C
A
B
Дано: BD – биссектриса ∠АВС
Доказать: BD – биссектриса ∠АDС
Решите самостоятельно
1
2
3
4
5
6

Проверь себя!
Какой треугольник называется прямоугольным?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Верно ли, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°?
Сформулируйте свойства прямоугольного треугольника.
Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.
Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.
Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу.
В основе чего лежит одно из свойств прямоугольного треугольника?