Система уравнений ГД и разностные схемы для ее решения

Краткое содержание предыдущих семинаров
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Семинар № 1 (07.02.14). Некоторые разностные схемы для решения линейного уравнения переноса.
Семинар № 2 (14.02.14). Построение схем для решения линейного уравнения переноса в пространстве неопределенных коэффициентов.
Семинар № 3 (21.02.14). Понятие монотонности разностных схем. Теорема Годунова.
Семинар № 4 (28.02.14). Обобщение на случай системы уравнений гиперболического типа.

Система уравнений газовой динамики
Дивергентная форма записи (в форме законов сохранения)
Вектор консервативных переменных
Вектор потоков
Полная энергия
Внутренняя энергия (уравнение состояния)
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Анализ системы уравнений газовой динамики
Характеристическая форма
Скорость звука
Матрица Якоби
Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. – М.: Физматлит, 2001.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Гиперболическая система уравнений
Наличие конечной скорости распространения бесконечно слабых возмущений
Возможность существования разрывных решений даже для гладких начальных данных
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Метод конечных объемов (1)
Vm
(q1m , q2m , … )
0
x
y
z
Для произвольной компоненты вектора консервативных переменных:
или
Проинтегрируем по объему ячейки расчетной сетки и по времени:
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Метод конечных объемов (2)
Vm
(q1m , q2m , … )
σ
nσ
0
x
y
z
Возьмем интеграл в первом выражении и применим теорему Остроградского-Гаусса к расчету интеграла во втором:
Sm
(q1k , q2k , … )
Аппроксимируем поверхностный интеграл через сумму интегралов по граням ячейки:
Основной вопрос – как определять численный поток?
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Постановка задачи о распаде произвольного разрыва
Задача Коши для системы уравнений газовой динамики с разрывом первого рода в начальных данных
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Возможные конфигурации решения
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Соотношения на разрыве
Соотношения Ренкина – Гюгонио:
Разрывы
Контактные – нет потока массы вещества через разрыв
Ударные волны
Обтекание тела сверхзвуковым потоком
Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. – М.: Мир, 1986.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Элементарная теория ударных волн
Адиабата Гюгонио
p
p0
адиабата Гюгонио
адиабата Пуассона
В ударной волне газ нельзя сжать больше, чем в ( γ + 1 ) / ( γ – 1 ) раз.
Ударная волна бесконечно малой интенсивности распространяется относительно газа со скоростью звука.
Фронт ударной волны распространяется относительно фона со сверхзвуковой скоростью.
Теорема Цемплена: не существует ударных волн разрежения.
ΔS = 0
Самарский А.А., Попов Ю.И. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.: Наука, 1992.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Соотношения для ударных волн и волн разрежения
«левая» УВ
«правая» УВ
«левая» ВР
«правая» ВР
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Метод Ньютона для нахождения давления на контактном разрыве
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Система тестов
Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. – Springer, 1999.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Тест 1. Задача Сода. Анализ (p-v)-диаграммы.
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение плотности.
Начальная плотность слева от разрыва
Начальная плотность справа от разрыва
Ударная волна (УВ)
Контактный разрыв (КР)
Волна разрежения (ВР)
«Голова» ВР
«Хвост» ВР
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Начальная скорость слева от разрыва
Начальная скорость справа от разрыва
Ударная волна
Скорость на контактном разрыве непрерывна
Волна разрежения
«Голова» ВР
«Хвост» ВР
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение скорости.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Начальное давление слева от разрыва
Начальное давление справа от разрыва
Ударная волна
Давление на контактном разрыве непрерывно
Волна разрежения
«Голова» ВР
«Хвост» ВР
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение давления.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Начальная энергия слева от разрыва
Начальная энергия справа от разрыва
Ударная волна
Волна разрежения
«Голова» ВР
«Хвост» ВР
Контактный разрыв
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение внутренней энергии.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Алгоритм построения точного решения
1. Определяем по (p-v)-диаграмме конфигурацию, возникающую при распаде.
2. В результате решения нелинейного алгебраического уравнения методом Ньютона ищем давление на контактном разрыве.
3. Определяем оставшиеся параметры – скорости ударных волн и наклоны крайних характеристик, описывающих веер волны разрежения.
Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.: Наука, 1992.
Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. – М.: Наука, 1976.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Тестирование схемы С.К. Годунова решения уравнений газовой динамики
Сергей
Константинович Годунов
род. 1929 г.,
академик РАН
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение плотности.
Δx = 0.01
Δ t = 0.001
УВ размазывается на ~ 9 ячеек
КР размазывается на ~ 15 ячеек
Погрешности в описании ВР
Схема С.К. Годунова:
1-ый порядок аппроксимации
Монотонность
Физичность результатов (есть исключения)
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение скорости.
Δx = 0.01
Δ t = 0.001
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение давления.
Δx = 0.01
Δ t = 0.001
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение внутренней энергии.
Δx = 0.01
Δ t = 0.001
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Тест 1. Задача Сода. Сравнение методов Годунова и КИР (1).
Распределение плотности
Распределение скорости
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Тест 1. Задача Сода. Сравнение методов Годунова и КИР (2).
Распределение давления
Распределение внутренней энергии
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Тест 2. Метод Роу (Roe).
Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. – Springer, 1999.
Проблемы с законом неубывания энтропии
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Тест 2. Метод Роу с энтропийной коррекцией.
Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. – Springer, 1999.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Тест 1. Метод Лакса-Вендроффа.
Sod G.A. A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws // J. Comp. Phys. – 1978. – V. 27. – P. 1 – 31.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.

Тест 1. Метод Русанова.
Sod G.A. A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws // J. Comp. Phys. – 1978. – V. 27. – P. 1 – 31.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.