Сложение

Содержание:
Для продолжения работы щелкните мышкой по соответствующей теме
Понятие суммы целых неотрицательных чисел;
Сравнение целых неотрицательных чисел;
Свойства сложения;
Изучение действия сложения в начальном курсе математики;
Завершение работы
Множество No
Умножение
Вычитание
Деление
С помощью этих кнопок можно перейти в электронные конспекты по указанным темам.
Для возвращения в данный конспект нажмите
.

Понятие суммы неотрицательных чисел
Возврат в оглавление
Ознакомление с действием сложение начинается в дошкольном возрасте. При этом дети оперируют с конкретными множествами и результат сложения находят как численность объединения двух непересекающихся множеств.
В гараж заехало 3 синих и 2 красных автомобиля. Сколько автомобилей заехало в гараж?
В этой задаче речь идет о двух множествах:
А – множество синих автомобилей. n(A) = 3
В – множество красных автомобилей. n(В) = 2
А∩В = ∅
Дошкольники, при решении данной задачи, пересчитают автомобили, то есть они найдут численность объединения множеств А и В.
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Например:
n(A∪В) = 5
В начальной школе дети усваивают, что для решения подобных задач можно не пересчитывать предметы, а сложить численности множеств.
n(A∪В)= n(A)+ n(В)= 3 + 2 = 5
Определение 5: Суммой целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число с, которое является численностью объединения непересекающихся множеств А и В, где n(A)=а; n(B)=b
Числа a и b называются – слагаемыми.
Число с называется - суммой
Запись a + b так же называется – суммой.
Определение 6: Действие, посредством которого находится сумма, называется сложением.
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
Для действия сложения справедлива теорема:
Теорема: Для любых целых неотрицательных чисел a и b существует и при том только одно целое неотрицательное число с, которое является суммой чисел a и b . (∀а,b∈No) ∃! с∈Nо: с = а + b

Сравнение целых неотрицательных чисел
Возврат в оглавление
Для сравнения целых неотрицательных чисел ученики начальной школы могут опираться на наглядность.
А
В
A’
6>4
После изучения действия сложения они могут применить такое рассуждение для сравнения чисел 6 и 4: 6 – это 4 да 2, следовательно 6 больше 4.
В основе такого рассуждения лежит следующее определение понятия «больше».
Определение 7: Целое неотрицательное число a больше целого неотрица-тельного числа b, если существует натуральное число k такое, что верно равенство а = b + k
(∀а,b∈No) (∃k∈N: а = b + k) ⇒ (a > b)
Используя данное определение отношения «больше», докажите неравенства:
8 > 3
5 > 2
7 > 5
9 > 7
Доказательство: Существует натуральное число 5 такое, что 8 = 3 + 5, следовательно 8 > 3 (∃5∈N: 8 = 3 + 5) ⇒ (8 > 5)
Дети докажут так: 8 – это 3 да 5, следовательно 8 больше 5.
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Чтобы посмотреть пример доказательства, щелкните мышкой по первому неравенству.
Запишите этот пример доказательства и докажите верность оставшихся неравенств.
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.

Возврат в оглавление
Свойства сложения
Для действия сложения справедливы следующие свойства (законы):
Свойство коммутативности (переместительный закон);
Свойство ассоциативности (сочетательный закон);
Свойство монотонности.
Запишите это в тетрадь.
Для продолжения работы щелкните мышкой по выделенному свойству. После ознакомления щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Задание: Для данных выражений :
2 + 7
43 + 2
53 + 20
47 + 5
35 + 29
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
запишите развернутое решение и найдите значение;
опишите, что с точки зрения определения действия сложения Вы нашли;
определите какое свойство лежит в основе вычислительного приема;
придумайте задачу, иллюстрирующую данное свойство запишите все способы решения данной задачи, составлением числовых выражений.

Свойства сложения (продолжение)
Возврат в оглавление
Свойство коммутативности
Для любых целых неотрицательных чисел а и b верно равенство: а + b = b + а
(∀а,b∈No) а + b = b + а
В начальной школе знакомство с данным свойством может проходить при рассмотрении пар задач. Например:
Детям подарили 3 футбольных и 2 волейбольных мяча. Сколько мячей подарили детям?
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
Детям подарили 2 волейбольных мяча и 3 футбольных. Сколько мячей подарили детям?
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
3 + 2 = 5
2 + 3 = 5
Сравнивая полученные решения дети замечают, что
слагаемые поменяли местами;
результат (сумма) не изменился.
После рассмотрения достаточного количества примеров дети могут сделать вывод:
Задание: Придумайте свое задание с раздаточным материалом, которое бы иллюстрировало данное свойство.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
Знакомство с этим свойством необходимо при изучении сложения чисел в концентре «Десяток». Дети заучивают наизусть результаты прибавления чисел 2, 3, 4, а после знакомства с переместительным свойством, учатся прибавлять числа 5, 6, 7, 8, 9. Например: выражение 3 + 5 они заменяют выражением 5 + 3, значение которого они знают наизусть.

Свойства сложения (продолжение)
Возврат в оглавление
Свойство ассоциативности
Для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство:
(а + b) + с = а + (b + с)
(∀а,b,с ∈No) (а + b) + с = а + (b + с)
В начальной школе знакомство с данным свойством сводится к знакомству с двумя правилами:
Чтобы прибавить число к сумме можно прибавить его к первому слагаемому и к полученному результату прибавить второе слагаемое.
Чтобы прибавить сумму к числу можно прибавить к числу сначала первое слагаемое и к полученному результату прибавить второе слагаемое.
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Сформулируйте эти правила.
Чтобы проверить себя щелкните мышкой по голубому полю экрана
прибавление числа к сумме
прибавление суммы к числу
Чтобы прибавить число к сумме можно прибавить его ко второму слагаемому и к полученному результату прибавить первое слагаемое.
Чтобы прибавить сумму к числу можно прибавить к числу сначала второе слагаемое и к полученному результату прибавить первое слагаемое.
(a + b) + c
=(a + c) + b
=(b + c) + a
a + (b + c)
=(a + b) + c
=(a + c) + b
Знакомство с данными правилами необходимо для усвоения младшими школьниками вычислительных приемов сложения. Рассмотрим организацию работы с детьми на примере одного из правил.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.

Свойство ассоциативности (продолжение)
Детям предлагают составную задачу, имеющую несколько способов решения. Числа в условии подбирают так, чтобы все вычисления проходили в пределах десяти. Например:
Возврат в оглавление
На одном кусте распустилось 3 розы, а на другом 4. Затем на кустах распустилось еще 2 розы. Сколько роз стало на кустах?
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Выбор способа решения зависит от дальнейшей иллюстрации задачи и вопросов учителя:
I способ:
При такой иллюстрации предполагается следующий план решения:
сколько роз было на двух кустах?
сколько роз стало на двух кустах?
После ответа на данные требования дети могут записать решение
(3 + 4) + 2 = 9
Запишите это в тетрадь, сделав соответствующий рисунок, и щелкните мышкой по голубому полю экрана
II способ:
При этом способе иллюстрации возможен такой план решения:
сколько роз стало на первом кусте?
сколько роз стало на двух кустах?
После ответа на эти требования дети записывают решение
(3 + 2) + 4 = 9
III способ:
Эта иллюстрация предполагает такой план решения:
сколько роз стало на втором кусте?
сколько роз стало на двух кустах?
После ответа на эти требования дети получают решение
(4 + 2) + 3 = 9
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
Прием ознакомления детей с правилом «Прибавление числа к сумме»

Свойство ассоциативности (продолжение)
Возврат в оглавление
В результате решения задачи дети получают три равенства:
(3 + 4) + 2 = 9
(3 + 2) + 4 = 9
(4 + 2) + 3 = 9
Проанализировав эти равенства:
найдя сходства (одинаковые числа, одинаковые действия, одинаковый ответ);
выяснив различие (порядок сложения чисел);
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Полученные правила используется для ознакомления с вычислительным приемом сложения примеров вида 34 + 20 и 34 + 2. Развернутое решение такого примера выглядит так:
34 + 20 = (30 + 4) + 20 = (30 + 20) + 4 = 50 + 4 = 54
Рассуждения ученика:
представляю число 34 в виде суммы разрядных (удобных) слагаемых 30 + 4;
нам удобно к десяткам прибавлять десятки, поэтому сначала к 30 прибавим 20, а затем к полученному результату прибавим 4;
30 прибавить 20 – получится 50 и прибавим 4 – получится 54.
вспомнив название выражения, записанного в скобках (сумма) и название чисел при сложении (1-ое и 2-ое слагаемое), младшие школьники могут сформулировать правила «Прибавления числа к сумме».
Задание:
Найдите в данном рассуждении правило, которым дети заменяют сложную для них формулировку правила «Прибавления числа к сумме» и подчеркните его.
Запишите развернутое решение примера 34 + 2 и рассуждения ученика, необходимые для этого решения. Выделите в этих рассуждения правило, заменяющее правило «Прибавления числа к сумме».
Придумайте по два примера на каждый вычислительный прием.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.

Свойства сложения (продолжение)
Возврат в оглавление
Свойство монотонности
Если одно из слагаемых суммы увеличится (уменьшится) на несколько единиц, то и вся сумма увеличится (уменьшится) на сколько же единиц.
(∀а,b,с ∈No) (а > b) ⇒ а + с > b + с
В начальной школе знакомство с данным свойством происходит опосредовано при выполнении различных упражнений. Например:
Заполни таблицу:
Выполняя это задание, дети замечают, что 1-ое слагаемое увеличивается на 3 и при этом сумма также увеличивается на 3.
Сравни выражения:
3 + 4 … 3 + 9
17 + 4 … 7 + 4
Выполняя это задание, дети могут
найти значения выражений и сравнить полученные числа;
заметить, что одно слагаемое не меняется, а другое увеличивается (уменьшается), следовательно из двух выражений больше то, у которого другое слагаемое больше.
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
24 + 39 … 24 + 13
Выполните это задание. К какому выводу могут прийти ученики после его выполнения. Чтобы проверить себя щелкните мышкой по голубому полю экрана
Выполните это задание. Как могут рассуждать ученики при его выполнении. Чтобы проверить себя щелкните мышкой по голубому полю экрана
Данное свойство применяется при устных вычислениях. Например
Найди значение выражений:
54 + 39
536 + 398
403 + 758
697 + 285
Выполняя это задание дети замечают, что одно из слагаемых близко к круглому числу. Например: 398 на 2 меньше 400. К 586 прибавить 400 будет 986. Так как второе слагаемое увеличили на 2 то сумма увеличилась на 2. Следовательно ответ будет 984.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.

Изучение действия сложение в начальном курсе математики
I этап. Ознакомление с действием сложения. На этом этапе дети знакомятся:
с записью арифметического действия;
чтением выражений. Например: 5 + 2 – (к пяти прибавить два; пять плюс два);
Результат действия сложения на этом этапе находят как численность объединения множеств, за исключением случаев прибавления числа 1 (прибавить 1 – назвать следующее число).
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
II этап. Изучение приемов сложения чисел первого десятка. На этом этапе дети:
заучивают наизусть результаты прибавления чисел 2, 3, 4;
знакомятся с названием чисел при сложении (1-ое слагаемое, 2-ое слагаемое, сумма) и со способами чтения выражений. Например: 5 + 2 – (сума чисел 5 и 2; 1-ое слагаемое – 5, второе слагаемое 2, найти сумму);
изучают переместительное свойство сложения и используют его для прибавления чисел 5, 6, 7, 8, 9. Например: 3 + 6 – (нам удобно к шести прибавить три, получится – девять, следовательно 3 + 6 = 9).
III этап. Изучение приемов сложения чисел до 20. На этом этапе дети знакомятся с приемами нахождения результата действия сложения, основанными:
на знании нумерации. Например: 10 + 2 – (к 1-му десятку прибавили 2 единицы. Число, состоящее из 1-го десятка и 2-х единиц – 12, следовательно 10 + 2 = 12);
13 + 1 – (прибавить 1 – назвать следующее число, за числом 13 следует число 14, следовательно 13 + 1 = 14);
на свойстве ассоциативности. Например: 8 + 5 – (нам удобно сначала к 8 прибавить 2, получится – 10, а потом прибавить 3, получится – 13, ). После ознакомления с данным приемом, результаты сложения чисел до 20 заучиваются наизусть.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
Возврат в оглавление

Изучение действия сложения в НКМ (продолжение)
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
IVэтап. Изучение приемов сложения чисел до 100. На этом этапе дети знакомятся с устными приемами нахождения результата действия сложения, основанными:
на знании нумерации. Например:
30 + 5 – (к 3-м десяткам прибавили 5 единиц. Число, состоящее из 3-х десятков и 5-ти единиц – 35, следовательно 30 + 5 = 35);
30 + 50 – (к 3-м десяткам прибавили 5 десятков, получили 8 десятков или 80);
43 + 1 – (за числом 43 следует число 44, следовательно 43 + 1 = 44);
на свойстве ассоциативности. Например: 34 + 5; 34 + 50; 48 + 7
на свойстве монотонности. Например: 48 + 34; 59 + 25
Запишете второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находи-лись друг под другом;
Сложите единицы первого разряда.
а) Если полученная сумма меньше 10, то ее запишите в соответствующий разряд ответа;
б) Если полученная сумма больше 10, то выделите в ответе полное количество десятков и оставшееся количество единиц. Полученные единицы запишите в соответствующий разряд ответа, а количество десятков перейдет в следующий разряд (их нужно запомнить);
3. Повторяйте те же действия со всеми разрядами числа, добавляя запомненные единицы из предыдущих разрядов.
Задание: запишите решение примеров 43 + 39; 57 + 32; 35 + 25, расставив их в порядке возрастания сложности.
Задание: запишите рассуждения учеников при решении каждого из этих примеров;
На этом этапе вводится алгоритмом письменного сложения двузначных чисел:
Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке
57 + 32 (все суммы разрядов меньше 10)
35 + 25 (одна из сумм разрядов равна 10)
43 + 39 (одна из сумм разрядов больше 10)
Проверьте себя, щелкнув по знаку вопроса.
При повторном щелчке подсказка исчезнет.
Возврат в оглавление

V этап. Изучение приемов сложения чисел до 1000 и многозначных чисел. На этом этапе дети закрепляют полученные ранее навыки устных и письменных приемов сложения, основанных:
на знании нумерации.
Например: 300 + 500; 300 + 53; 350 + 3; 300 + 50; 999 + 1;
на знании свойств ассоциативности и монотонности.
Например: 340 + 250; 234 + 53; 485 + 7; 498 + 345;
на алгоритме письменного сложения трехзначных и многозначных чисел.
Например: 463 + 329; 567 + 132; 365 + 125; 795 + 321; 457 + 376.
Проверьте себя, щелкнув по знаку вопроса.
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
Изучение действия сложения в НКМ (продолжение)
Возврат в оглавление
Задания:
Запишите рассуждения учеников при решении всех примеров, записанных выше.
Выполните письменные вычисления, расставив примеры в порядке возрастания сложности
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
567 + 132 (все суммы разрядов меньше 10)
365 + 125 (одна из сумм разрядов равна 10)
463 + 329 (одна из сумм разрядов больше 10)
457 + 376 (несколько сумм разрядов больше 10)
795 + 321 (несколько сумм разрядов больше 10, появляется новый разряд)