способов решения тригонометрического уравненияили еще раз о

Математики видят ее в:
гармонии чисел и форм,
геометрической выразительности,
стройности математических формул,
решении задач различными способами,
изяществе математических доказательств,
порядке,
богатстве приложений универсальных математических методов.
Проблема красоты привлекала и привлекает
величайшие умы человечества.

Но красота математики выражается не только в красоте форм ,наглядной выразительности математических объектов, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями.
Ее привлекательность будет усиливаться за счет эмоционально-экпрессивной составляющей -
оригинальности,
неожиданности,
изящества.
Математики живут ради тех славных моментов,
когда проблема оказывается решенной,
ради моментов
озарения, инсайта, восторга

Можно ли насладиться решением уравнения
sinx-cosx=1?
Да, если стать его исследователем!
способы решения уравнения sinx-cosx=1 и , поверьте, красота математики станет вам доступной!

Универсальные методы решения уравнения
sin x – cos x=1
Мы уже говорили о богатстве приложений универсальных математических методов. При решении уравнений одним из них является метод разложения на множители.
Можно ли применить его к решению уравнения
Sin x –cos x = 1?
На первый взгляд,кажется что нет…
А если использовать специфические тригонометрические преобразования

Мы не просто в правой части уравнения
получили ноль,мы выделили
выражение 1 + cos x …
Как вы думаете зачем
Рассуждаем
Преобразуем исходное уравнение
Sin x – cos x = 1
к виду
Sin x – ( 1 + cos x) = 0.

Ну, конечно,вы догадались !
Необходимо перейти к половинному аргументу,
применив формулу повышения степени
и формулу двойного аргумента
Итак…

Разложение левой части уравнения на множители
sinx-cosx=1
1-й способ

Произведение равное нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
однородное уравнение первой степени.

Делим обе его части на
что противоречит тождеству
Получим
Ответ:

А может вы заметили, что левая часть уравнения
sin x – cos x является однородным выражением первой степени относительно sin x и cos x и тут же огорчились,поняв ,что само уравнение не является однородным ( в правой части – не ноль) ?
неоднородное уравнение первой степени превращается ( вот здорово!) в однородное уравнение второй степени относительно sin x и
cos x .Конечно ,вы разгадали этот фокус.
Трах-тибидох…
Не огорчайтесь.
Немного математической
магии…
и по волшебству

Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса
sinx-cosx=1
Разложим левую часть по формулам двойного
аргумента, а правую часть заменим
тригонометрической единицей:
2-й способ
И так далее, как в предыдущем способе …

Тригонометрия удивительна тем ,что она даёт собственные оригинальные способы преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение:
Но увы, в левой части уравнения, мы видим разноименные функции. Как изменить название функции на «кофункцию» ?
Есть изящный способ!!!
Вы уже догадались?
Нет? А всего лишь нужно применить формулу приведения!

3-й способ.
Преобразование разности ( или суммы) тригонометрических функций в произведение.
sinx-cosx=1
Запишем уравнение в виде:
Применяя формулу разности двух синусов, получим
Ответ:

Другим универсальным методом решения уравнений является замена переменной. И хотя для данного уравнения этот способ не самый простой,но он применим , причем в двух вариантах!
В первом случае используется основное тригонометрическое тождество
А во втором – универсальная подстановка.

4-й способ
Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций
sinx-cosx=1
Так как
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима (обязательна!) проверка. Выполним ее.
Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:
х
у
π/2
π
-π/2

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними.
Проверим
Левая часть:
Правая часть:1.
Следовательно,

5-й способ
Выражение всех функций через tgx (универсальная подстановка) по формулам:
С учетом приведенных формул уравнение
sinx-cosx=1
запишем в виде

Умножим обе части уравнения на
ОДЗ первоначального уравнения – все множество R.

При переходе к
из рассмотрения выпали значения, при которых
не имеет смысла, т.е.
Следует проверить, не является ли х=π+2πk решением данного уравнения.
Левая часть:
sin(π+2πk)-cos(π+2πk)=sinπ-cosπ=0-(-1)=1.
Правая часть: 1.
Значит, х=π+2πk, k€Z – решение уравнения.
Ответ:

На ряду с универсальными методами решения уравнений, есть и специфические. Наиболее ярким из них является метод введения вспомогательного угла (числа).
Благодаря этому приёму исходное уравнение легко сводится к простейшему –
Последний метод, предлагаемый нами, связан также с нестандартным преобразованием тригонометрического уравнения – возведением обеих частей в квадрат.
И хотя он является коварным в плане приобретения посторонних корней, но подкупает своим оригинальным способом сведения исходного уравнения к простейшему!
просто и красиво!

6-й способ
Введение вспомогательного угла (числа)
sinx-cosx=1
В левой части вынесем за скобку ( корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx). Получим
Ответ:

С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение
распадается на два случая
х
у
π/4
3π/4

7-способ
Возведение обеих частей уравнения в квадрат
sinx-cosx=1

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:
Проверка показывает, что первое и четвертое решения – посторонние.
Ответ:
x
0
y
π/2
π
-π/2