Степенная функция её свойства и график

Вы знакомы с функциями у=х, у=х2, у=хЗ, y=1/х и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции у = хР, где р - заданное действительное число.

Виды степенной функции
1. Показатель р=2n - четное натуральное число. В этом случае степенная функция у = х2n, где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R ;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y≥ 0;
функция у=х2n четная, так как (-х)2n = х2n;
- функция является убывающей на промежутке x≥O и возрастающей на промежутке x≤ O.
График функции у = хР имеет такой же вид, как, например, график функции у = х4 (рис. 1).

Рис. 1

2. Показатель р=2n-1 - нечетное натуральное число.
В этом случае степенная функция y=х2n-1, где 2n-1 - натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- Функция y=х2n-1 нечетная, так как (-х)2n-1=- х2n-1;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y=х2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=х3(рис. 2).
Рис.2

3. Показатель р = - 2n, где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=х2n обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме х= 0;
- множество значений - положительные числа у>0;
- Функция y=х2n- четная, так как (-х)2n =х2n;
функция является возрастающей на промежутке х<0 и убывающей на промежутке х>0.
График функции y=х2nимеет такой же вид, как, например, график функции y=х-2(рис.3).
Рис.3

4. Показатель р = - (2n - 1), где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=х-(2n-1) обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме х=0;
- множество значений - множество R, кроме у=0;
- функция нечетная, так как (-х)-(2n-1) = х-(2n-1);
- функция является убывающей на промежутках х<0 и х>0.
График функции y=х-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=х-3 (рис. 4).
Рис.4

5. Показатель р - положительное действительное нецелое число.
В этом случае функция у=хР обладает следующими свойствами:
область определения - неотрицательные числа х;
множество значений - неотрицательные числа у;
функция является возрастающей на промежутке (x; ∞).
График функции у=хР, где р - положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции у=х (при 0<р< 1) или как, например, график функции y=x (при p>1) (рис.5 a, б)