Текстурный анализ

Введение
Рассмотренные выше способы описания текстуры с помощью ППФ и ОПФ были основаны на определении вероятности совпадения ориентации кристаллита с какой-либо заданной ориентацией относительно определенной системы координат.
Выбор системы координат определяет способ описания текстуры.

Введение
ППФ позволяет указать связь между системой координат образца и кристалла только для идеальной ориентировки. В реальных случаях распределение ориентаций имеет непрерывный характер.
ОПФ несколько лучше представляет непрерывное распределение ориентаций по отношению к вершинам стандартного стереографического треугольника, но только для какой-то одной оси системы координат образца.
В общем случае текстура поликристалла описывается четырьмя координатами: три определяют ориентировку, а четвертая – вероятность этой ориентировки.

Введение
Однозначно установить ориентировку каждого зерна в пространстве возможно, если указать вращения, переводящие систему координат образца (например, направление прокатки, поперечное направление и нормаль к плоскости прокатки) в систему координат кристалла (например, ребра элементарной ячейки).
В общем случае текстура поликристалла описывается четырьмя координатами: три (углы Эйлера) определяют ориентировку, а четвертая – вероятность этой ориентировки. Графически так представить текстуру невозможно, так как для этого необходимо 4-х мерное пространство, поэтому используют представление текстуры с помощью ППФ или ОПФ.

Углы Эйлера
Описание ориентаций более целесообразно проводить с помощью трех углов поворота (эйлеровых углов) относительно осей кристалла, которые приводят систему координат образца параллельно системе координат кристалла. Поворот осуществляют сначала вокруг оси z на угол φ1, затем вокруг нового положения оси x на угол Ф, а затем вокруг нового положения оси z на угол φ2 . Углы φ1 и φ2 могут изменяться от 0 до 360°, а угол Ф от 0 до 180°.
Углы φ1, Ф и φ2 можно использовать как декартовы координаты для описания положения кристалла в пространстве ориентировок.
<φ1; Ф ; φ2> вместо

История создания метода ФРО
Основа количественного метода описания текстуры была заложена отечественным ученым А. С. Виглиным, который в 1960 г. предложил метод вычисления функций распределения ориентаций кристаллитов, которые позволяют однозначно описать текстуру.
Этот принцип получил развитие в работах Бунге и Рое (1965). Независимо друг от друга они разработали методы аналитического нахождения трехмерной функции распределения ориентировок кристаллитов, исходя из нескольких прямых полюсных фигур, полученных экспериментально.

Первые работы по ФРО.
Bunge H.J. Zur Darstelung algemeiner Texturen // Z. Metallkunde. 1965. Bd.56. S.872-874.
Roe R.J. Description of Crystallite Orientation in Polycrystalline Materials // Journ. Appl. Phys. 1965. V.36, № 6. P.2024-2031.

Различия в методах Бунге и Рое
Различия в вариантах метода, предложенных Бунге и Рое, связаны со способами учета симметрии в получаемом решении, в определении эйлеровых углов и в нормировке.
Соотношение между углами Эйлера, определенными Рое ( ψ, θ, φ) и Бунге (φ1, Ф, φ2) определяются как:
ψ = φ1 - π/2
θ = Ф
φ = φ2 + π/2

Если через V обозначить объем поликристаллического материала, а через dV – объем всех кристаллов из V с ориентацией, находящейся в интервале около ориентации g с координатами φ1, Ф, φ2 , то функция распределения ориентаций (ФРО) кристаллов F(φ1; ξ; φ2), для объема V, определяется так:
(1)
где ξ = cos Ф.
Функция F(φ1; ξ; φ2) неотрицательна и удовлетворяет условию нормировки
(2)
Экспериментальная функция распределения ориентаций кристаллитов по Бунге

Применение ФРО (по Бунге)
Зная функцию f(g) (g – переменная обозначающая ориентировку (φ1; ξ; φ2), можно построить непрерывную ОПФ и любую ППФ.
ФРО позволяет определить величину любого анизотропного свойства текстурованного материала в любом направлении, если известна зависимость этого свойства F от ориентации, т.е. F(g) для монокристалла. Среднее значение свойства определяют по формуле
Для образца с произвольной ориентацией g0 формула имеет вид
где go – матрица поворота к новой ориентировке.

Применение ФРО
Таким образом, зная ФРО, можно определить анизотропию упругих, пластических, прочностных, магнитных свойств текстурованных поликристаллов (Бунге).
Важной областью применения ФРО является исследование механизма образования текстур фазовых превращений и рекристаллизации путем построения матриц соответствия и поворота ориентировок двух фаз (Рое).

Построение ФРО
ФРО можно построить:
с помощью текстурной приставки и построения полюсных фигур;
с помощью методики дифракции обратно-рассеянных электронов (ДОЭ).

Интерпретация данных ФРО
ФРО обычно изображается в виде некоторого распределения вероятностей ориентаций в пространстве углов Эйлера

Интерпретация данных ФРО
Вся совокупность возможных ориентаций кристалла в образце может быть охвачена при изменении углов Эйлера Ф и Ψ от 0 до 2π и θ – от 0 до π.
Однако, учитывая кубическую симметрию кристалла и орторомбическую симметрию листового образца, при описании положения кристаллографических направлений относительно системы координат образца, принято использовать интервал углов Эйлера от 0 до π/2.

Интерпретация данных ФРО
Каждая идеальная ориентировка представляется единственной точкой в пространстве углов Эйлера.
Здесь углы Ψ, θ, Ф изменяются по ребрам куба, исходящим из одной точки [100] от 0 до π/2. Таким образом, каждой точке пространства могут быть приписаны индексы единственной кристаллографической ориентации.

«Стандартные сечения» ФРО по Рое.
Положение идеальных ориентировок в сечениях пространства углов Эйлера при фиксированных значениях угла Ф.
Эти сечения можно назвать «стандартными» по аналогии со стандартными сетками на гномо-стереографических проекциях.

Стандартное сечение пространства углов Эйлера при φ = 45° (по Рое)
Это сечение замечательно тем, что в нем находится большая часть ориентировок, присущая текстурам деформации и рекристаллизации ОЦК и ГЦК металлов. В соответствии со сказанным выше, углы Эйлера θ и Ф задают положение кристаллографической плоскости, поэтому на сечении плоскость изображается отрезком прямой, параллельной вертикальной оси. Угол Ψ определяет положение направления в плоскости.

«Стандартные сечения» ФРО по Бунге.
Положение идеальных ориентировок в сечениях пространства углов Эйлера при фиксированных значениях угла φ2.

Стандартное сечение пространства углов Эйлера при φ2 = 45° (по Бунге)
Приведено сечение ФРО (по Бунге) при φ2 = 45°, на котором также как на сечении Ф = 45° по Рое выходит большинство основных ориентировок деформации и рекристаллизации ОЦК и ГЦК металлов.