Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
А
В
С
а
b
x
y
H
h

Следствие 1
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
( докажите самостоятельно)
Диагональ параллелограмма , делит его на два равновеликих
треугольника : SΔ= a b sin , Sпар= a b sin

Следствие 2
Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними
А
С
ABCD- параллелограмм,
BD=d1 , AC=d2 , AOB=α
SAOB=SCOD
SBOC=SAOD
4·SΔ
В
D
O
180°-α

Площадь прямоугольника
d
α
d
d2

Площадь произвольного четырёхугольника
A
D
B
C
α
O
d1
d2
ABCD- 4-угольник,
BD=d1. AC=d2 , СOD=α
SABCD=SABO+SBOC+SCOD+SAOD
180°-α
SABCD=
+
=
=
BD
AC
AC

Площадь трапеции

Задания по готовым
чертежам

№ 1.
Вычислите площадь
№3.
№4
№5
d1
№ 2.
d2
150°
d1
Найти: высоты
параллелограмма
№6

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
A
B
C
a
b
c
α
β
γ

Следствие 1
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам (диаметру) описанной окружности.
ω
А
В
С
α
О
α
а
1 случай
А1
ВА1

2 случай
ΔАВС- тупоугольный
(докажите самостоятельно)
.
А
В
А1
С
О
а
α
180°-α

Следствие 2
Площадь треугольника можно вычислить по формуле
a, b, c – стороны треугольника,
R – радиус окружности ,описанной около треугольника .
( докажите самостоятельно, используя теорему о площади треугольника и следствие из теоремы синусов)
Значит,
с

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
b
В
А
С
a
α
c
х
у
(0;0)
(с;0)
По формуле расстояния между двумя точками получаем:
BC2= a2 = (b cosα –c)2
+b2sin2α
=
b2 cos2α
- 2bc cosα
+c2
+b2sin2α
=
=
b2 (cos2α + sin2α)+c2 - 2bc cosα
1
=
b2 +c2 - 2bc cosα

Докажите самостоятельно , используя теорему косинусов , следующее утверждение:
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Задания по готовым чертежам

A
B
C
30°
5
Найти: АВ
4
№1
6
120°
6
С
B
А
А
Найти: ВС
Найти: ВС
Найти: В и R( радиус описанной окружности)
B
С
4
75°
60°
№2
№ 4
A
№3
Найти: B.
C
B
120°
2
Найти: A.
C
B
A
60°
№ 6
№ 6
14
13
15
Найти: R( радиус описанной окружности)
№ 5
№ 7
13
14
15
A
B
D
C
Найти: AС
ВD = 15

Задания по готовым чертежам