Теория матричных игр

Основные понятия теории матричных игр
Теория игр – математическая теория конфликтных ситуаций, целью которой является выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.
Конфликтная ситуация – это столкновение интересов двух или более сторон.
Игра – это математическая модель конфликтных ситуаций, а также система предварительно оговоренных правил и условий.
Партией называется частичная реализация правил и условий игры. Результатом игры всегда является число v, которое называется выигрышем, проигрышем или ничьей.
если υ > 0 – выигрыш
если υ < 0 – проигрыш
если υ = 0 – ничья

Партии состоят из ходов. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление.
Ходы бывают:
личными – когда игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действия (пример –– любой ход в шахматах);
случайными – когда выбор осуществляется не волей игрока, а каким-то механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости).
Игры бывают:
парные – игра между двумя игроками;
множественные – в них участники могут образовывать коалиции (постоянные или временные);
кооперативные – играют более двух человек, которые образуют кооперации до конца игры;
коалиционные – объединение, но не до конца игры;
не коалиционные – с начала и до конца каждый играет сам за себя.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. В зависимости от стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.
Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется в распоряжении только конечное число стратегий (в противном случае игра называется бесконечной).
Игра с нулевой суммой (один выиграл (υ), другой проиграл (- υ)) – это игра, в которой сумма выигрышей игроков равна нулю (υ+(- υ))=0 (т.е. каждый игрок выигрывает только за счет других).
Самый простой случай – парная игра с нулевой суммой – антагонистическая игра, здесь два игрока четко играют друг против друга.
Игры бывают с полной информацией, в этом случае игроки четко знают все правила игры и четко знают все шаги противника, и с неполной информацией.

Результат игры записывается в платежную матрицу.
Игра «орел - решка»
Нижней чистой ценой игры называется
Верхней чистой ценой игры называется

Элемент, стоящий на пересечении , называется седловым элементом матрицы.
Задача теории игр – поиск оптимальных стратегий (решений).
Решением игры называется пара оптимальных стратегий для игроков А и В, значение цены игры.
Наличие седловой точки означает наличие равновесия в игре.
Игра, для которой , называется игрой с седловой точкой,
где называется ценой игры.

Чистые и смешанные стратегии
Чистой стратегией называют ход, выбранный с вероятностью 1.
Смешанной стратегией игрока А называется вектор
.
Смешанной стратегией игрока В называется вектор
платежная функция.
чистая стратегия
Пара стратегий называется оптимальной, если

Теорема1
Средний выигрыш или проигрыш лежит между
Теорема 2 (основная теорема теории игр). В терминах смешанных стратегий любая конечная игра имеет решение.
Теорема 3 Для того, чтобы смешанные стратегии
были оптимальными в матричной игре
, необходимо и достаточно :

Активной стратегией называется стратегия, входящая в оптимальную смешанную стратегию с ненулевой вероятностью.

Теорема 4 Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равен цене игры, не зависимо от того, какую стратегию принимает второй игрок, если только тот не выходит за пределы своих активных стратегий.
Стратегия игрока А называется доминирующей над стратегией , если ,
а стратегия - доминируемой.
- доминирующая над , если
Пример:
невыгодна

Теорема 5 Оптимальные смешанные стратегии и
в матричной игре (1) с ценой игры v будут оптимальными и в матричной игре (2) с ценой
Доминируемые стратегии можно убирать из матрицы игры, от этого решение не изменится.

Пример исследования матричной игры