Тригонометрические функции

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
y = sin x,
y = cos x,
їх графіки
та властивості
y
1
-1
x

Синус (від лат. sinus) – вигин, кривизна.

Означення тригонометричних функцій
sin α = y
ордината
точки Pα
cos α = x
абсциса
точки Pα

Побудова графіка функції y = sin x

Графік функції y = sin x
Графіком функції y = sin x
є крива, яка називається
СИНУСОЇДА

Властивості функції y = sin x
Область визначення D(sin x) = R
Множина значень E(sin x) = [-1; 1]
Парність або непарність: функція y = sin x непарна sin(-x) = -sin x
(графік функції симетричний відносно початку координат)
Періодичність: функція y = sin x періодична з найменшим додатнім періодом T = 2π
sin (x + 2π) = sin x

Властивості функції y = sin x
Точки перетину графіка функції y = sin x з осями координат:
б) з віссю ОY: f(0) = sin 0 = 0 (точка (0; 0))
а) з віссю ОХ (нулі функції): у = 0, sin x = 0, якщо х = πn, n ∈ Z

Властивості функції y = sin x
Проміжки знакосталості:
sin x > 0, якщо х ∈ (0 + 2πn; π + 2πn), n∈Z
sin x < 0, якщо x ∈ (π + 2πn; 2π + 2πn), n∈Z

Властивості функції y = sin x
Проміжки монотонності:
а) функція зростає в кожному з проміжків:
x∈ [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], n∈Z
б) функція спадає в кожному з проміжків:
x∈ [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n∈Z

Властивості функції y = sin x
Екстремуми функції:
Хмах = π/2 + 2πn, n∈Z, Yмах = 1
Хмin = -π/2 + 2πn, n∈Z, Yмin = -1

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = sin (x + π/6)
Для побудови графіка функції y = sin (x + а)
необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OX на а одиниць вліво

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = sin (x - π/6)
Для побудови графіка функції y = sin (x - а)
необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OX на а одиниць вправо

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = sin x + 1
Для побудови графіка функції y = sin x + а
необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OY на а одиниць вгору

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = sin x - 1
Для побудови графіка функції y = sin x - а
необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OY на а одиниць вниз

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = - sin x
Для побудови графіка функції y = - sin x
необхідно графік функції y = sin x відобразити симетрично відносно осі OX

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = sin (-x)
Для побудови графіка функції y = sin (-x)
необхідно графік функції y = sin x відобразити симетрично відносно осі OY

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = | sin x |
Для побудови графіка функції y = | sin x |
необхідно додатну частину графіка функції y = sin x залишити незмінною, а від'ємну частину відобразити симетрично відносно осі OX

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = sin | x |
Для побудови графіка функції y = sin | x |
необхідно побудувати графік функції y = sin x при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі OY

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = 2 sin x
Графік функції y = k sin x
можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо 0

Перетворення графіків функції y = sin x
y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = 1/2 sin x
Графік функції y = k sin x
можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо 0

Перетворення графіків функції y = sin x
Побудувати графік функції y = sin 2x
Графік функції y = sin k x
можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k>1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0
1
-1
x

Перетворення графіків функції y = sin x
Побудувати графік функції y = sin 1/2x
Графік функції y = sin k x
можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k>1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0
1
-1
x

Побудова графіка функції y = cos x
Графік функції у = cos x одержується перенесенням
графіка функції у = sin x вліво на π/2.
sin (x + π/2) = sin x cos π/2 + sin π/2 cos x = cos x

Графік функції y = cos x
Графіком функції y = cos x
є крива, яка називається
КОСИНУСОЇДА

Властивості функції y = cos x
Область визначення D(cos x) = R
Множина значень E(cos x) = [-1; 1]
Парність або непарність: функція y = cos x парна cos(-x) = cos x
(графік функції симетричний відносно осі OY)
Періодичність: функція y = cos x періодична з найменшим додатнім періодом T = 2π
cos (x + 2π) = cos x

Точки перетину графіка функції y = cos x з осями координат:
Властивості функції y = cos x
а) з віссю ОХ (нулі функції) у = 0, cos x = 0, якщо х = π/2 + π n,
n ∈ Z
б) з віссю ОY: f(0) = cos 0 = 1 (точка (0; 1))

Властивості функції y = cos x
Проміжки знакосталості:
cos x > 0, якщо х ∈ (-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn), n∈Z
cos x < 0, якщо x ∈ (π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn), n∈Z

Властивості функції y = cos x
Проміжки монотонності:
б) функція спадає в кожному з проміжків:
x∈ [2πn; π + 2πn], n∈Z
а) функція зростає в кожному з проміжків:
x∈ [-π + 2πn; 2πn], n∈Z

Властивості функції y = cos x
Екстремуми функції:
Хмах = 2πn, n∈Z, Yмах = 1
Хмin = π + 2πn, n∈Z, Yмin = -1

Перетворення графіків функції y = cos x
Перетворення графіків функції y = cos x відбувається аналогічно перетворенню графіків функції y = sin x

y
1
-1
x
Побудувати графік функції y = 2 cos (2x – π/2)
1) будуємо графік функції y = cos x
2) будуємо графік функції y = cos 2x, стискаючи графік функції
y = cos x у 2 рази до вісі OY
3) будуємо графік функції y = 2 cos 2x, розтягуючи графік функції
y = cos 2x у 2 рази від осі OX
4) будуємо шуканий графік функції y = 2 cos 2 (x – π/4), паралельно переносячи графік функції y = 2 cos 2x
вправо вздовж осі OX на відстань π/4
Подамо вираз даної функції у вигляді y = 2 cos 2 (x – π/4)

Практичне застосування тригонометричних функцій
Синусоїда – хвилеподібна плоска крива, яка є графіком тригонометричної функції y = sinx в прямокутній системі координат. Якщо рулон паперу розрізати навскоси і розвернути його, то край паперу виявиться розрізаним по синусоїді. Цікаво, що проекція на площину гвинтової лінії свердла також буде синусоїдою.