Тригонометрия

Окружность
P
М N
A
О А
C
D

Деление на части
1)на 2 части 2)на 4 части С 3)на 8 частей С
R K
В А В А В A AА
M N
D D
4)на 12 частей С 5)на 6 частей
O Z O Z Указать длины дуг: 2)AD
P F 3)AR, KM, ND, AM, NA
4)AO, AG, CB, CE, AT, AE, PE
B A B A 5)AZ, ZB, AB, ZH, OZ
G T
E H E H
D

Отметить на числовой окружности точки М( t) такие, что:
1)t = 1; 4; - 3 1 рад≈57°
2)t = π; π/3; -π/6; 7π π≈3,14
3)t = - 0,5π; 2,5π; - 0,75π π(рад)=180°
4)t = 2π/3; - 5π/6; 7π/4;
5)t = - 11π/3; 25π/6; 19π/4 1
π 0

Числовая окружность в системе координат.
2 ч (-;+) у 1 ч (+;+) π/2
М(t)=M(x;y)
уМ 1 ум хм = cosα = cost
π α 0 х yM= sinα = sint
хМ 2π у/х = tgt
x/y = ctgt
3π/2
3 ч (-;-) 4 ч (+;-)

Координаты
у π/2 90°
120° 2π/3 1 π/3 60°
135° 3π/4 π/4 45°
150° 5π/6 1/2 π/6 30°
180° π -1 0 1 0 0° x
- - -1/2 ½ 2π 360 (cost)
210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]
-
225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4]
240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3]
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

Тангенс и котангенс
Линия тангенсов tg t ЄR , но t ‡ + π k, kЄZ
у π/2
2π/3 π/3 1
5π/6 π/4
π/6 ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
0 х Линия котангенсов
у
4π/3
-π/2
π 0 х

Знаки и значения
1.sint > 0 в 1ч и 2ч; 2.cost > 0 в 1ч и 4ч;
sint < 0 в 3ч и 4ч; cost < 0 в 2ч и 3ч;
sint Є [-1;1] cost Є [-1;1]
1)sin²t + cos²t=1
2) y ² + x² = 1
3. tgt > 0 в 1ч и 3ч; 4.сtgt > 0 в 1ч и 3ч;
tgt < 0 в 2ч и 4ч; сtgt < 0 в 2ч и 4ч;
tgt Є R ctgt Є R
3)tgt = sint/cost ; ctgt = cost/sint
4)tgt = y/x ; ctgt = x/y
5)tgt·ctgt = 1

Самостоятельная работа № 1
1 вариант 2 вариант 3 вариант
1.На числовой окружности отметить числа:
13π/6; - 1; 10π 9π/4; 2; -8π -5π/3; 3; 6π
2.Единичная окружность разбита на части:
A K E A
F M K E
P T
D C D C D C
O N
S G R H R H
B B
Найдите длины следующих дуг:
CA, CS, CG, BD CE, CR, CH, HR CT, CP, CN, RD
3.Определить знак числа:
1) cos 95° 1) cos 280° 1) cos 190°
2) sin 7π/3 2) sin 11π/6 2) sin 13π/4
3) tg (-π/6) 3) tg (-π/4) 3) tg (-π/3)

Работа с формулами
№1.Дано: cost=0,4; 90°
Найти: sint .
Решение:
1 способ. 2 способ. cos = 2/5 ; СВ=
1)sin²t + cos²t=1, А
sin²t=1 - cos²t, 5 Т.К. tЄ2ч, то sin t>0 . Значит, sin t=
sin²t=1 - 0,16, 2
sin²t=0,84,
Т.К. tЄ2ч, то sint>0 С В Ответ: .
sint=+
sint =
Ответ: .

Основные тригонометрические тождества
1.

Формулы приведения
y
π/2+t π/2 π/2-t
1). Определить четверть
π – t 2π+t 2).Определить знак функции в четверти
π 0 x 3).От ОХ – не меняем на ко функцию;
π+t 2π-t От ОУ – меняем на ко функцию.
3π/2-t 3π/2 3π/2+t

Формулы сложения
1.sin(x + y)= sinx·cosy + siny·cosx
2.cos(x + y)= cosx·cosy - sinx·siny
3.sin(x – y)= sinx·cosy - siny·cosx
4.cos(x – y)= cosx·cosy + sinx·siny
5.
6.

Формулы двойного и половинного аргумента
1.sin2x = 2 sinx·cosx;
2.cos2x = cos²x - sin²x;
3.cos2x = 1 – 2sin²x; 6.
4.cos2x = 2cos²x-1; 7.
5. ;