Укрупнение дидактических единиц (УДЕ).(П.М. Эрдниев)

Целевые ориентации:
достижение целостности математических знаний как главное условие развития и саморазвития интеллекта учащихся;
создание информационно более совершенной последовательности разделов и тем школьных предметов, обеспечивающее их единство и целостность;
сверхзадача: вооружить девятилетнюю школу страны едиными учебниками математики (на базе рационального синтеза учебников алгебры геометрии и черчения).

Концептуальные положения
Понятие «укрупнение единицы усвоения» достаточно более общее, его можно представить как интеграцию конкретных подходов к обучению:
1. совместно и одновременно изучать взаимосвязанные действия, операции функции, теоремы и т.п. (в частности, взаимно обратные).
2. Обеспечение единства процессов составления и решения задач (уравнений, неравенств и т.п.).

Концептуальные положения
3. Рассматривать во взаимопереходах определенные и неопределенные задания (в частности, деформированные упражнения).
4. Обращать структуру упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий.

Концептуальные положения
5. Выявлять сложную природу математического знания, достигать системности знаний.
6. Принцип дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов образного и логического в мышлении, сознательного и подсознательного компонентов).

При этом используются фундаментальные закономерности мышления (вкупе оптимизирующие познавательный процесс):
закон единства и борьбы противоположностей;
перемежающееся противопоставление контрастных раздражителей (И.П. Павлов);
принцип обратных связей, системности и цикличности процессов (П.К. Анохин), обратимости операций (Ж. Пиаже);
переход к сверх символам, т.е. оперирование более длинными последовательностями символов (кибернетический аспект).

Укрупненная дидактическая единица – это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью.
УДЕ обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.

Обучение строится по следующей схеме:
Стадия усвоения недифференцированного целого в его первом приближении.
Выделение в целом элементов и их взаимоотношений.
Формирование на базе усвоенных элементов и их взаимоотношений более совершенного и точного целостного образа.

Особенности методики
В качестве основного элемента методической структуры взято понятие «математическое упражнение» в самом широком значении этого слова, как соединяющее деятельность ученика и учителя, как элементарную целостность двуединого процесса «учения - обучения». Как считает Эрдниев П.М. «…в задаче заключена прежде всего деятельность по ее составлению, а не только деятельность по ее решению…»

Ключевой элемент технологии УДЕ – это упражнение – триада, элементы которой рассматриваются на одном занятии:
исходная задача;
ее обращение;
обобщение.

В работе над математическим упражнением (задачей) отчетливо выделяются четыре последовательных и взаимосвязанных этапа:
составление математического упражнения;
выполнения упражнения;
проверка ответа (контроль);
переход к родственному, но более сложному упражнению.

Основной формой упражнения должно стать многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, но психологически объединенных в некоторую целостность частей:
решение обычной «готовой» задачи;
составление обратной задачи и ее решение;
составление аналогичной задачи по данной формуле (тождеству) или уравнению и ее решение;
составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей;
решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам по отношению к исходной задаче.

Лейтмотивом урока, построенного по системе УДЕ, служит правило:
не повторение, отложенное на следующие уроки, а преобразование выполненного задания, осуществляемое немедленно на этом уроке, через несколько секунд или минут после исходного, чтобы познавать объект в его развитии, противопоставить исходную форму знания видоизмененной.

«Метод обратных задач»
Работу над задачей нецелесообразно завершать получением ответа к ней; надо приемом обращения составлять и решать в сравнении с исходной (прямой) задачей новую, обратную задачу, извлекая тем самым дополнительную информацию, заключающуюся в связях между величинами решенной исходной задачи.
Для этого в условие исходной задачи вводится ее ответ, а некоторые ее числа из условия переводятся в разряд искомых.

Особенности решения взаимно обратных задач:
при этой методике одно и то же число, понятие, величина, фигура и т.п. входит в несколько различных рассуждений и находится существенно иными ходами мысли.
в процессе преобразования прямой задачи в обратную учащийся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами задачи.
решая обратную задачу, учащиеся самостоятельно перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом они овладевают практически как новыми связями между известными им мыслями, так и новыми, более сложными формами рассуждений.

Обобщение и аналогия при обучении математики
Обобщение означает переход знания на более высокий уровень на основе установления для данных объектов общих свойств или общих отношений.
Простое применение аналогии дает упражнение, подобное, однопорядковое с исходным. От него следует отличать составление задачи обобщением, когда новая задача оказывается в том или ином отношении сложнее исходной. Процесс обобщения основывается на применении аналогии, но не сводится полностью к ней.

Индукция и дедукция в обучении математики
Индукция и дедукция представляют взаимосвязанные логические категории, помогающие характеризовать мысль с точки зрения ее возникновения.
Индукцией называют движение мысли от частного к общему, дедукцией – движение мысли от общего к частному

Соединение анализа и синтеза как условие гибкости и прочности математических знаний
Необходимо включить в учебники такие упражнения, чтобы их выполнение требовало совокупного применения аналитических и синтетических ходов мыслей.
Связь между этими основными образовательными процессами можно увидеть лишь в том случае, когда от формулы «анализ и синтез» переходим к психологической формуле «анализ через синтез» или, еще лучше, к циклической трехчленной формуле «анализ → синтез → анализ».
«Соединение анализа и синтеза» достигается при работе над двойственным заданием (составление + решение составленного).

Принцип дополнительности
Особенность принципа заключается в том, что содержание одного термина пары невозможно разъясниь без привлечения другого.
Успех обучения обеспечивается не обилием методов, их количественным разнообразием, а, в первую очередь, их противоречивым единством, качеством их взаимодоплнительности. Так, например, как отмечает Эрдниев П.М. «познавать часть через целое», «выполнять анализ через синтез», «постичь структуру через функцию», органическое сочетание образного и логического.

Системность знаний как результат укрупнения дидактической единицы
Системные представления помогают теоретически предвидеть превосходство одной последовательности знаний перед другой. Компонентами системного знания выступают логически разнородные понятия.
Главнейшей особенностью УДЕ является то, что она создает лучшие условия для возникновения системного качества знаний, т.е. постижение богатства связей и переходов.