УМФ

Пусть G - единичный круг на плоскости с границей Г и функции
таковы, что Требуется найти функции
являющиеся решением системы уравнений Коши-Римана в круге G:
(5.1)
и удовлетворяющие на единичной окружности Г граничному условию
(5.2)
Определение 5.1. Индексом граничного условия (5.2) называется число N оборотов вокруг начала координат на плоскости которые совершает вектор с координатами при изменении аргумента от 0 до
Теорема 5.1. (О разрешимости)
1. Если индекс граничного условия (5.2) то задача Гильберта (5.1), (5.2) всегда имеет не единственное решение, зависящее от произвольной постоянной.
2. При если задача Гильберта разрешима, то она разрешима единственным образом, но для этого необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна к любой функции из некоторой линейной конечномерной системы функций, размерность которой

Доказательство.
1. Предположим вначале, что и есть граничные значения действительной и мнимой частей некоторой аналитической в G и не равной там нулю функции
Тогда аналитическая в круге функция
имеет вещественную часть значение которой на Г известно:
(5.3)
Тогда гармоническая функция однозначно определяется как решение задачи Дирихле, а по ней гармонически сопряженная функция находится с точностью до произвольной постоянной. А тогда
(5.4)

2. Заметим, что граничное условие (5.2) эквивалентно любому условию вида
какова бы ни была строго положительная функция Поэтому в общем случае
подберём множитель так, чтобы функции и
были граничными значениями действительной и мнимой частей аналитической в круге
функции
Будем строить функцию С без нулей внутри круга в виде
где - аналитическая в G функция. Эти функции на окружности Г удовлетворяют
условиям:
(5.5)
Таким образом, необходимо определить функции из уравнений (5.5). Из
определения индекса N видно, что при движении точки s по окружности Г против
часовой стрелки вектор
обойдёт окружность N раз. А так как функция q является аргументом этого вектора, то
она получит приращение и уже при не является однозначной.
Поэтому разделив q на аналитическую функцию имеющую тот же индекс,
получим на Г функцию
аргумент которой определяется однозначно.

Приняв эти значения аргумента за граничные значения функции
построим внутри круга аналитическую функцию
Произвольную постоянную, появляющуюся при определении функции
фиксируем каким-либо определённым образом. И пусть теперь
Тогда на границе Г имеем
Следовательно, функция
(5.6)
на границе круга Г равна
Опр. 5.2. Множитель называется регуляризирующим множителем.

1. Пусть вначале
В этом случае построенная аналитическая функция имеет внутри
круга G единственный нуль порядка N в начале координат.
Построим аналитическую в G и непрерывную вплоть до границы функцию
по граничным значениям её действительной части
Тогда функция является искомой.
Действительно, по построению она аналитична в круге G и непрерывна вплоть до
границы Г и, так как
то и существование решения при установлено.

Исследуем теперь вопрос о степени неединственности этого решения.
Ясно, что решение задачи Гильберта определяется с точностью до произвольного
решения однородной задачи. Итак, пусть решение однородной
задачи, то есть а, следовательно, Поэтому функция
имеет вещественную часть
Так как регулярна внутри круга, имеет в начале координат
нуль кратности N, то функция имеет в начале координат
полюс порядка не выше чем N.

Построим общий вид аналитической функции имеющей в начале координат полюс кратности не выше чем N и такой, что
Пусть имеет в центре круга полюс с главной частью
А так как полином имеет вещественную часть, принимающую на границе Г те же значения, что и вещественная часть главной части, то функция
имеет вещественную часть, обращающуюся на Г в нуль, и ту же главную часть,
что и Следовательно, ограничена, и
вещественная часть разности принимает на Г нулевые значения. Отсюда Итак,
(5.7)
При этом постоянные произвольны и их число равно

2. Пусть и - решение задачи Гильберта. Так как функция имеет полюс порядка в начале координат, то функция
имеет нуль в начале координат кратности не меньше чем Причём
Коэффициенты ряда Тейлора функции
определяются по формулам
однозначно, где С - произвольная постоянная, а - коэффициенты Фурье
функции

Поэтому функция определяется по граничному условию
этими коэффициентами однозначно, причём первые коэффициентов
обращается в нуль. Итак, если при задача Гильберта разрешима, то
(5.8)
и это решение единственно. Если ввести в рассмотрение функции
то необходимые и достаточные условия разрешимости (5.8) задачи Гильберта
окончательно примут вид:
(5.9)
Заметим, что линейная зависимость функций прямо следует
из теории тригонометрических рядов Фурье.