Усеченный конус

Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.

Пусть в конусе, высота которого известна, проведено сечение, находящееся на расстоянии три от вершины. Чему равна образующая получившегося усеченного конуса, если известна образующая полного конуса?
8
?

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны. Найдите образующую усеченного конуса.
8
?

Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего основания, высота и образующая.
36
?

Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности
усеченного конуса.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Доказательство:
Боковую поверхность усеченного конуса будем понимать как предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной усеченной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

Доказательство:
Впишем в конус правильную пирамиду. Ее боковая поверхность состоит из трапеций.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного конуса – это часть круглого кольца.
Замечание:

Усеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если известны основания и боковая сторона трапеции.
?

Задача.
Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6, а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания равно 10. Найдите площадь боковых поверхностей усеченного и полного конусов.

Достроим усеченный конус до полного и проведем осевое сечение.
Решение:

1) Вычислим радиус большего основания.
Решение:

2) Найдем боковую сторону трапеции –образующую усеченного конуса.
Решение:

3) Используя подобие треугольников, найдем образующую полного конуса.
Решение:
~

4) Подставим найденные значения в формулы для площадей боковой поверхности полного и усеченного конусов.
Решение:

Формула объема усеченного конуса.
Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих одинаковую высоту с усеченным конусом, а основаниями: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее, а третий – круг, радиус которого есть среднее геометрическое между радиусами верхнего и нижнего оснований.

Поместим на верхнем основании усеченного конуса малый конус, дополняющий его до полного и рассмотрим объем его как разность объемов двух конусов.
Доказательство:

Вычислим высоту полного конуса из подобия треугольников.
Доказательство:
~

Объемы полного и дополнительного конусов относятся как кубы радиусов оснований.
Доказательство:
~

Вычтем из объема большого конуса объем малого конуса.
Доказательство:

Найдите объем усеченного конуса, если известны его высота и радиусы оснований.
149π
?

Подобные цилиндры и конусы.
Подобные цилиндры или конусы можно рассматривать как тела, полученные от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников.

Сечение, параллельное основанию конуса, отсекает от него малый конус, подобный большому.

В цилиндре проведено сечение, параллельное основанию. Будет ли малый цилиндр, который отсекается этим сечением, подобен большому?
?

Площади боковых поверхностей подобных цилиндров и конусов относятся как квадраты радиусов или высот, а объемы – как кубы радиусов или высот.

В конусе, высота которого известна, проведено сечение, параллельное основанию. Известно также соотношение объемов малого и большого конусов. На каком расстоянии от основания находится сечение?
?
2

Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 2:3. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Найти, в каком отношении разделился объем усеченного конуса.
Задача.

Зная, что радиусы оснований конуса относятся как два к трем, обозначим радиусы как 2а и 3а и рассмотрим осевое сечение конуса.
Решение:

1) Используя подобие, найдем радиусы проведенных сечений.
Решение:

2) Достроив усеченный конус до полного, найдем, какую часть от полного конуса составляют меньшие конусы.
Решение:
V – объем наибольшего конуса