В.Б. Тарасов МГТУ им. Н.Э.Баумана, Кафедра «Компьютерные системы автоматизации производства» e-mail: [email protected] О ВЗАИМОСВЯЗЯХ М

Логические законы (синтаксис)
1) закон полноты (исключенного третьего)
p ∨⎤ p;
2) закон непротиворечия
⎤ (p ∧ ⎤ p);
3) закон отрицания отрицания
(закон инволютивности)
⎤ (⎤ p)= p;
4) закон материальной
импликации
(из лжи следует все что угодно)
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Законы логической семантики
1)* принцип бивалентности
T (p) ∨ F (p);
2)* принцип однозначности
⎤ { T,F}

ВАРИАНТ КЛАССИФИКАЦИИ МНОГОЗНАЧНЫХ ЛОГИК
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ
ЛОГИКИ
ПАРАПОЛНЫЕ
ЛОГИКИ
ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВЫЕ
ЛОГИКИ
нет 1)
нет 2)
ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ
ЛОГИКИ
нет 3)
РЕЛЕВАНТНЫЕ
ЛОГИКИ
нет 4)
ПАРАНОРМАЛЬНЫЕ
(НЕЧЕТКИЕ) ЛОГИКИ
нет 1) и 2)
Примеры: Параполные (частичные) логики – логика Клини
Интуиционистские логики - логика Гейтинга
Паранепротиворечивые логики – логика Бочвара, логика аргументации Финна
Паранормальные логики – логика Лукасевича

ОСНОВНЫЕ ТРЕХЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ
Логика Лукасевича
LML3 = 〈{1, 0.5, 0}, {⎤, →L}, {1}〉
0.5 – «возможноcть», «безразличие»
Логика Клини
LM K3 = 〈{1, 0.5, 0}, {⎤, ∨, →K}, {1}〉
0.5 – «неопределенность, «неизвестность», «неполнота информации»
Логика Гейтинга
LM H3 = 〈{1, 0.5, 0}, {¬, ∧, ⇒}, {1}〉
0.5 – «половинчатость» (не истинное и не ложное)
Логика Бочвара
LMB3 = 〈{1, 0.5, 0}, {⎤, ∧, ∨ , →B}, {1}〉
0.5 – «бессмыслица», «абсурд»

ИСТОКИ МНОГОЗНАЧНЫХ ЛОГИК
Многозначные логики (базовые идеи Л.Брауэра, Н.А.Васильева,
Ч.Пирса; трехзначные логики Лукасевича, Клини, Гейтинга,
Бочвара; n-значные логики Лукасевича, Поста, Геделя)
Реальная история неаристотелевой логики начинает свой отчет с 18 мая
1910 года, когда в своей лекции в Казанском университете Н.А.Васильев
дал сжатое изложение оригинальной концепции неаристотелевой
(«воображаемой») логики.
1910 г. Васильев Н.А. О частных суждениях, о треугольнике противоположностей,
о законе исключенного четвертого// Ученые записки императорского Казанского
университета. – 2010. Октябрь. – С.1- 47.
13 января 1911 года. Доклад Н.А.Васильева «Неевклидова геометрия и
неаристотелева логика» на 150-м заседании Казанского физико-математического
общества. Он вызвал большой интерес: на нем присутствовали 20 членов общества и 100
«посторонних лиц» (Известия Казанского физико-математического общества, 1911).
1912 г. Васильев Н.А. Воображаемая (неаристотелева) логика)// Журнал
министерства народного просвещения. Новая серия. 1912. Август. – С.207-246.
Васильев Н.А. Логика и металогика. – Логос. – 1912-1913. Кн.1/2. – C.53-81.
Анализ работ Н.А.Васильева
Бажанов В.А. Н.А.Васильев и его воображаемая логика. – М.: Канон+, 2009.
Мальцев А.И. К истории алгебры в СССР за первые 25 лет// Алгебра и логика. – 1971. – Т.10,
№1. – С.103-118.
Смирнов В.А. Логические взгляды Н.А.Васильева// Очерки по истории логики в России. – М.:
1962. – С.242-257.
Смирнов В.А. Логические идеи Н.А.Васильева и современная логика// Васильев Н.А.
Воображаемая логика. Избранные труды. – М.: Наука, 1989. – С.229-259.
Николай АлександровичВасильев
(1880 - 1940)
Предшественники
Ян Лукасевич
(1878 - 1956),
ИСТОРИЧЕСКИЕ ДАТЫ

РОЛЬ Н.А.ВАСИЛЬЕВА В СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКЕ
Н.А.Васильев – основоположник неклассических логик
в России, родоначальник паранепротиворечивых,
многозначных, многомерных и многоуровневых логик,
автор работ по неаристотелевой «Воображаемой логике».
В них он утверждает, что аристотелева логика есть только одна из многих
возможных логических систем. Предметом воображаемой логики будет иной
логический мир, иные логические операции.
Логика не сводится к одному принципу, одному определению.
По сути Н.А.Васильев разработал неформальную теорию возможных миров.
Логические теории, которые изучают реальный мир, Н.А.Васильев называет
эмпирическими. Логические же теории, изучающие возможные миры,
называются им воображаемыми.
Воображаемая логика вносит в логику принцип относительности, основной
принцип науки нового времени.
Воображаемая логика – это логика, свободная от закона непротиворечия.
Ведь закон логики, которые фиксирует несовместимость утверждения и
отрицания – закон непротиворечия – неявно подразумевается в специфике
нашего отрицания, в его определении.
Таким образом, исходный пункт создания воображаемой логики – это введение
новых видов отрицания, обобщение понятия отрицательного суждения.

ОСНОВНЫЕ ТЕЗИСЫ Н.А.ВАСИЛЬЕВА
Эмансипация логики от влияния Аристотеля началась только в XIX-м веке.
Важнейшими этапами этого движения являлись:
1) метафизическая логика Гегеля;
2) открытие законов научной индукции и критика учения о силлогизме (Дж.С.Милль);
3) создание математической логики (Буль, Пеано, Фреге, Рассел).
1. Ответ Н.А.Васильева на основной вопрос логики (является ли классическая логика
универсальной?)
Классическая логика является неединственной и неуниверсальной, подобно тому,
как неединственной оказалась эвклидова геометрия.
Принцип логического плюрализма, идея множественности и релятивизма
логических систем.
2. Логика – эмпирическая наука. Логика зависит от свойств окружающей реальности
или наших ощущений («логический психологизм» Н.А.Васильева, возврат к идеям
Дж.С.Милля о том, что законы логики являются обобщением опыта).
3. Новый логический закон. Вследствие существования трех видов (форм) суждения в
неаристотелевой логике действует закон исключенного четвертого.
Каждый предикат либо необходим, либо возможен, либо невозможен.
4. Воображаемая логика позволяет нам глубже проникнуть в природу нашей логики,
разделить в ней эмпирические и неэмпирические элементы. Все внеэмпирические
элементы и отношения в логике составляют металогику. Металогика есть учение о
мышлении, не связанное с опытом.
Внутренняя логика – логика событий vs Внешняя логика – логика утверждений

ЛОГИЧЕСКИЙ ПЛЮРАЛИЗМ
ОСНОВОПОЛОЖНИКИ:
Н.А.ВАСИЛЬЕВ, Я.ЛУКАСЕВИЧ
ИСТОКИ: АНАЛОГИЯ С ПОЯВЛЕНИЕМ
НЕЭВКЛИДОВЫХ ГЕОМЕТРИЙ
ОСНОВНОЙ ТЕЗИС:
ПРИКЛАДНАЯ ЛОГИКА НОСИТ ЭМПИРИЧЕСКИЙ
ХАРАКТЕР , БУДУЧИ СИЛЬНО ЗАВИСИМОЙ ОТ
МНОЖЕСТВА ОНТОЛОГИЧЕСКИХ И ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИХ
ФАКТОРОВ.
ОТСЮДА СЛЕДУЕТ ЗАКЛЮЧЕНИЕ О НЕОБХОДИМОСТИ
СОСУЩЕСТВОВАНИЯ МНОЖЕСТВА РАЗЛИЧНЫХ ЛОГИК
(И СЕМАНТИК)

ОСНОВНЫЕ ПАРАДИГМЫ (ЭТАПЫ) РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ
1. Психологизм (Аристотель и логики аристотелевской традиции
Логика – раздел психологии; объекты логической науки – это формы мышления и
виды рассуждений
2. Логицизм (антипсихологизм) (Д.Буль, Г.Фреге, Б.Рассел,
Р.Карнап.
Предмет логики – логические исчисления. Для логицизма исчисления первичны,
а рассуждения – вторичны. Более того, математика является отраслью логики
3. Неологицизм (философия и логика обоснованного знания)
(А.С.Есенин –Вольпин)
3*. Неопсихологизм (Дж.С. Милль, Н.А.Васильев и др.). Плюрализм
логик. Логика становится эмпирической наукой.
4. Синтез логицизма и психологизма в русле логик
интеллектуальных систем. Зависимость логики от онтологии.
Финн В.К. Философские проблемы логики интеллектуальных систем// Новости искусственного интеллекта. – 1999. – №1. – С.36-51.

СВЯЗЬ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
С НЕЭВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ
Н.А.Васильев неоднократно подчеркивал, что существуют
внутренние аналогии между геометрией Н.И.Лобачевского и
воображаемой логикой.
Подобно тому, как исходным пунктом геометрии Лобачевского
являлся отказ от знаменитого пятого постулата Эвклида о
параллельных прямых, и он построил геометрию, свободную от
этого постулата, так и отправной точкой логики Н.А.Васильева
является отказ от одного из важнейших законов аристотелевой
логики – закона непротиворечия – и построении логики,
свободной от этого закона.
Следует отметить, что почти полвека спустя после создания геометрии Лобачевского
была найдена ее интерпретация на поверхностях с постоянной отрицательной
кривизной – так называемых псевдосферах.
Аналогично, реализация логики Н.А.Васильева требует развития концепции
логического пространства.

СВЯЗЬ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
С НЕЭВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ
(продолжение)
В знаменитой статье «О детерминизме» Я.Лукасевич
утверждал: «Кроме истинных и ложных высказываний
существуют возможные высказывания.
Этим высказываниям соответствуют другие логические
значения, кроме t и f, по крайней мере, одно третье
логическое значение.
Трехзначная система логики отличается от обычной
двузначной логики в не меньшей степени, нежели
системы неэвклидовой геометрии отличаются от
эвклидовой геометрии».
Лукасевич Я. О детерминизме // Логические исследования. Вып.2. – М.: Наука, 1993. – С. 190-205.

ЛОГИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК Н.А.ВАСИЛЬЕВА
Х есть А
Х не есть А
Х есть и не есть А одновременно

ИСЧИСЛЕНИЕ ИМЕН Н.А.ВАСИЛЬЕВА
Васильев Н.А. О частных суждениях, о треугольнике противоположностей,
о законе исключенного четвертого// Ученые записки императорского Казанского
университета. – 2010. Октябрь. – С.1- 47.
Эту работу Н.А.Васильев начинает с утверждения о том, что уже в логике XIX-го века замечается
глухая оппозиция против традиционного деления суждений на общие, частные и единичные –
деления освященного авторитетом И.Канта. По мнению, Н.А.Васильева, камень преткновения
лежит в истолковании частных суждений.
Частные утвердительные суждения A i B («некоторые A есть B») и
частные отрицательные суждения A о B («некоторые A не есть B»).
Эти суждения являются неоднозначными, поскольку кванторы i и о можно понимать по-разному.
Например, i можно трактовать как: 1) «некоторые, а может быть и все»; 2) «некоторые, но не все,
только некоторые». Иными словами, частное суждение принимает вид гипотезы.
Н.А.Васильев предлагает в этой ситуации отказаться от частных суждений и перейти к
индифферентным (конъюнктивным), проблематичным (дизъюнктивным) или акцидентальным
суждениям:
Индифферентное суждение (A a B) ∧ (A e B )
Дизъюнктивное суждение (A a B)∨ (A e B ) («все A есть B или не есть B»)
Акцидентальное суждение A m B («все A могут быть B»)
Нет частных суждений. Все суждения относительно понятия суть общие суждения.
Закон исключенного четвертого: Истинно или A a B, или A e B, или A m B.
В элементарном исчислении имен Н.А.Васильева имеется только один сорт
синтаксических категорий имен A, B, C, D и три логические константы в
виде двухаргументных функторов a, e и m.

ОТ ЛОГИЧЕСКОГО КВАДРАТА К ЛОГИЧЕСКОМУ ТРЕУГОЛЬНИКУ Н.А.ВАСИЛЬЕВА
С помощью диаграммы типа «логический
квадрат» иллюстрируют:
1) противоречия, контрадикторные
суждения a и o, e и i (диагонали квадрата),
которые не могут быть одновременно
истинными и ложными;
2) противоположные, контрарные
суждения a и e, i и o (горизонтали),
которые не могут быть одновременно
истинными, но могут быть одновременно
ложными.
a
e
i
o
a
e
m
В треугольнике Н.А.Васильева все пары суждений-противоположностей a и e, a и m, e и m подчинены одному-единственному правилу: они
не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.
Между суждениями i и o нет противоположности: они слиты в едином суждении m.

ДВУХУРОВНЕВАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА Н.А.ВАСИЛЬЕВА
Васильев Н.А. Логика и металогика. – Логос. – 1912-1913. Кн.1/2. – C.53-81.
«Одни логические принципы неизменны, неустранимы и абсолютны
(формальные, рациональные принципы логики), другие же, например, закон
непротиворечия и закон исключенного третьего, относительны, устранимы из
логики, материальны и эмпиричны. Отсюда вытекает, что наша логика
отличается двойственным характером, что она полуэмпирична,
полурациональна, и поэтому ей может быть противопоставлена чисто
формальная и чисто рациональная дисциплина, обобщенная логика, которую
мы предложили бы назвать металогикой…».
Изменяя онтологию, комбинируя различные свойства реальности, можно
получить различные воображаемые логики. Этот метод в логике аналогичен
сравнительному и экспериментальному методам в естествознании.

ДВУХУРОВНЕВАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА Н.А.ВАСИЛЬЕВА (продолжение)
Н.A.Васильев ввел понятие исходной двухуровневой логической
структуры: логика и металогика (или внутренняя логика –
логика событий и внешняя логика – логика утверждений).
МЕТАЛОГИКА
(ВНЕШНЯЯ ЛОГИКА
ИЛИ ЛОГИКА
УТВЕРЖДЕНИЙ)
ЭМПИРИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
(ВНУТРЕННЯЯ ЛОГИКА
ИЛИ ЛОГИКА
СОБЫТИЙ)
Н.А.Васильев различал два уровня логического знания:
1) уровень, определяемый бытием, онтологией;
уровень, определяемый особенностями мышления – концептуальный.
Нижний, онтологический уровень составляет логика событий, а верхний уровень – логика истинности.
Васильев Н.А. Логика и металогика. – Логос. – 1912-1913. Кн.1/2. – C.53-81.
Основным законом металогики Н.А.Васильев считает закон абсолютного различения истины и лжи: одно и то же суждение не может быть одновременно истинным и ложным.
Впоследствии он стал утверждать, что металогика должна строиться только на одних утвердительных высказываниях.
В качестве примеров законов эмпирической логики Н.А.Васильев приводит законы непротиворечия и исключенного третьего

ДВУХУРОВНЕВАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА (окончание)
Основная идея двухуровневой логики заключается в
разграничении эмпирических и абстрактных логических законов.
На эмпирическом уровне любая логическая конструкция
зависит от онтологических допущений о мире.
Напротив, на уровне металогики (классической двузначной
логики) происходит отвлечение от всякого содержания.
Поэтому она и является универсальной.
По сути, металогика выступает как логика без отрицательных
суждений (поскольку в классической логике отрицательные
суждения не атомарны, а являются результатом вывода).
С двухуровневой логической системой также связана идея разделения
логических операций на внутренние и внешние. Эта идея оказалась весьма
плодотворной; особенно тщательно она проработана у Д.А.Бочвара,
построившего первую трехзначную логику бессмыслицы для разрешения
логических парадоксов.

РАЗВИТИЕ НЕТРАДИЦИОННЫХ ЛОГИК И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ В СССР
А.Н.Колмогоров (1925 и 1932 г.). Интуиционистские логики
И.Е.Орлов (1928 г.). Импликации. Релевантные логики
Д.А.Бочвар (1938 г.). Трехзначная логика бессмыслицы.
А.А.Зиновьев (1963 г.). Комплексная логика.
В.К.Финн (1974 г.). Аксиоматизация трехзначных исчислений
высказываний и их алгебр
В.Н. Гришин (1974 г.). Об одной нестандартной логике и ее
применении в теории множеств
Д.А.Поспелов (1975 г.). Псевдофизические логики.
В.А.Смирнов (1989 г.). Комбинированные логики. Многомерные логики.
А.С.Карпенко

РАБОТЫ А.Н.КОЛМОГОРОВА ПО ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ (КОНСТРУКТИВНОЙ) ЛОГИКЕ
Уже в 1925 г. А.Н.Колмогоров обращал внимание на
относительность закона исключенного третьего, а в
1932 г. в работе «К толкованию интуиционистской
логики» он предложил новую интерпретацию
интуиционистского исчисления предикатов А.Гейтинга
в виде «исчисления проблем».
Колмогоров А.Н. О принципе tertium non datur// Математический
сборник. – 1925. – Т.32, №4. – С.646-667.
Kolmogoroff A.N. Zur Deutung der Intuitionistischen Logic//
Mathematische Zeitschrifft. – 1932. – Vol.35. – S.58-65.

Д.А.БОЧВАР: ОСНОВНЫЕ
НАУЧНЫЕ КОНЦЕПЦИИ
1. Построение трехзначной логики парадоксов (работы по формализации парадокса лжеца и других семантических парадоксов средствами специальной трехзначной логики)
2. Идея различения внутренних и внешних логических связок, а следовательно, построения двух уровней языка – внутреннего языка, в котором выражаются некоторые факты, но нет доказательств, и внешнего языка, в котором доказываются утверждения, в том числе, о формулах внутреннего языка (парадоксальная формула принадлежит внутреннему языку, а утверждение ее бессмысленности – внешнему).
3. Рассмотрение многозначных логик как фрагментов формализованной семантики (Принцип: сначала семантика, а затем – формальная логическая конструкция). Это означает интерпретируемость истинностных значений в содержательных терминах (например, порождение истинностных значений высказываний посредством правил правдоподобного вывода). Оно опирается на тезис Д.А.Бочвара об адекватности многозначных логик базам данных с неполной информацией.
Бочвар Дмитрий Анатольевич (1903-1990)

Д.А. БОЧВАР – РОДОНАЧАЛЬНИК ГЕОМЕТРИКО-АНАЛИТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКЕ
Бочвар Д.А. К общей теории логических матриц с континуумом валентностей//
Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. – М.: Наука, 1976. – С.198-220.
В 1976 г. за несколько лет по появления первых работ по формированию
и использованию треугольных норм и конорм в нечеткой логике (в том
числе, параметрических функций, таких как семейства норм Гамахера,
Сугено, Франка и др.) и более чем за 20 лет до выхода в свет работ
П.Хаека по представлению нечетких логик как континуальных логик,
порожденных с помощью непрерывных треугольных норм Д.А.Бочвар
предложил набросок общей теории логических матриц с континуумом
валентностей (т.е. по сути, вариант теории параметризованных нечетких
логик), в русле которой в бесконечнозначную логику были впервые
введены нелинейные функции отрицания и импликации.
В результате были построены семейства гиперболических,
параболических, эллиптических логик: гиперболические логики как
расширения бесконечнозначных логик Лукасевича и Геделя.
Впоследствии Григолия Р.Ш. и Финн В.К. ввели аппарат Bn-алгебр (квазиалгебр),
которые соответствуют n-значной логике Бочвара.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ БЕСКОНЕЧНОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ:
Различные геометрические интерпретации
бесконечнозначных семантик
А. Гиперболические логики задаются логическими матрицами, для
которых операции отрицания nH(x) и импликации IH(x,y) представляют собой
уравнения гипербол или поверхностей гиперболического типа соответственно
LMHL= 〈 [0,1], {1}, nH, IH〉,
I. Обобщение логики Лукасевича
1. Семейство параметрических отрицаний nH(x) = k (1 – x)/ (1 + x)
2. Семейство импликаций IH(x, y) = 1, если x ≤y
k[(1–(x – y)/k+(x – y)], если x>y
При k→∞ nH(x) → 1– x (линейное отрицание Лукасевича)
IH(x,y) → min {1, 1 – x+y} (импликация Лукасевича)

РАЗВИТИЕ ИДЕЙ Н.А.ВАСИЛЬЕВА В.А.СМИРНОВЫМ: КОМБИНИРОВАННЫЕ ЛОГИКИ
На основе идей Н.А.Васильева у В.А.Смирнова возникла концепция
комбинированных логик, где вводятся эмпирическая логика (операции над
событиями), а на абстрактном уровне фигурирует классическая логика.
С точки зрения В.А.Смирнова возможен двоякий подход к неклассическим
логикам.
Либо абстрактная часть логики (логика истинности) не изменяется, а
внутренняя онтологическая часть может быть отлична от классической
(например, за счет изменения онтологических предпосылок)
Либо, напротив, онтологическая часть остается прежней, а меняется
абстрактная логика (пересматриваются гносеологические предпосылки).
Возможна комбинация этих двух подходов, когда неклассичность появляется
за счет пересмотра как онтологических, так и гносеологических предпосылок.
Смирнов В.А. Утверждение и предикация. Комбинированные исчисления высказываний и событий// Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. – М.: Наука,1989. – С.27-35.

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ЛОГИКА
Logica Universalis: Towards a General Theory of Logic. J. Beziau, University of Neuchatel,
Switzerland (Ed.) Birkhauser Verlag, 2008.
Универсальная логика – это не новая логика, а скорее попытка построить общую
теорию логик, рассматриваемых как математические (в частности, алгебраические,
геометрические, топологические) структуры.
Причина возникновения: реакция на логический плюрализм, появление сотен новых логик в
последнее время, что влечет за собой потребность их систематизации и упорядочения.
Главный инициатор: Ж.-И. Безье (универсальная логика играет роль,
аналогичную роли универсальной алгебры при изучении различных алгебраических
структур)
Прародители: А.Тарский, А.Линденбаум, С.Яськовский
Примеры основных понятий универсальной логики: логическая система, логическая операция,
логическое следование, логическая матрица, многозначные логики
Логической матрицей называется тройка LM = 〈 V, Ω, D 〉,
где V есть непустое множество значений истинности;
Ω – множество операций над значениями истинности v из V;
D ⊂ V – множество выделенных значений истинности.
Замечание. Логическая матрица LM может быть представлена парой LM = 〈UA, D 〉, где UA – универсальная алгебра с сигнатурой ω1,…,ωn.
Под логикой (по Р.Вуйцицкому) понимается пара Λ = 〈X, Cn〉,
где X – множество логических формул, а Сn – оператор присоединения следствий, который удовлетворяет условиям: монотонности, рефлексивности, идемпотентности, структурности.

РАЗВИТИЕ ИДЕЙ Н.А.ВАСИЛЬЕВА В.А.СМИРНОВЫМ: МНОГОМЕРНЫЕ ЛОГИКИ
Главная идея многомерных логик состоит в том, что опыт дает нам атомарные
утверждения многих типов, и отсюда мы приходим к понятию многомерных миров.
Эта идея лежит в основе логической семантики возможных миров или точек соотнесения.
В N-мерной логике действует закон исключенного (N+1)-го.
Двумерный случай В.А.Смирнов рассматривает на примере дважды алгебр Брауэра.
Смирнов В.А. Дважды алгебры и симметрические логики// Логические исследования. Вып.1. – М.:
Наука, 1993. – С.46-54.
Первоначально В.А.Смирнов предложил аксиоматику N-мерных логик в форме
силлогистики. Позднее им было предложено построение логики N измерений в виде
алгебры классов.
Смирнов В.А. Аксиоматизация логических систем Н.А.Васильева// Современная логика и
методология науки. – М.: Наука, 1987. – С.143-151.
Смирнов В.А. Многомерные логики// Логические исследования. Вып.2.– М.: Наука, 1993.– С.259-278.
Другие примеры. У А.Н.Прайора в каждом возможном мире имеет место трехзначная
логика Лукасевича.

ПСЕВДОФИЗИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ Д.А.ПОСПЕЛОВА
Псевдофизическая логика (ПФЛ) – это логика, отражающая восприятие
субъектом или искусственной системой закономерностей внешней физической
среды. Особенностью ПФЛ является наличие нечетких шкал, на которые
проецируются объекты. Примерами ПФЛ являются временные логики,
пространственные логики, логики действий и т.п.
[Толковый словарь по ИИ, 1992, с.45-46]
Псевдофизические логики – класс логических систем, имеющих следующие особенности:
1. В качестве пропозициональных переменных используются лингвистические
переменные (ЛП) Л.Заде, имеющие в качестве значений либо слова естественного языка,
либо нечеткие множества, соответствующие этим словам, а также числовые (базовые)
переменные.
Например, в частотной логике И.В.Ежковой и Д.А.Поспелова (1977) в качестве ЛП берется
«Частота события» с множеством значений {никогда, чрезвычайно редко, редко, ни часто, ни редко,
часто, очень часто, почти всегда, всегда}, а в качестве числовой переменной {0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1}.
2. На множестве значений для всех переменных имеются порядковые шкалы с
отношением строгого порядка. Точнее для ЛП существуют порядковые шкалы, а
для числовых переменных – метрические шкалы.
3. Выводы, используемые в псевдофизических логиках, учитывают порядковые и
метрические шкалы, а также расположение событий на них.
Первые работы по ПФЛ появились в 1975 г.
[Представление знаний в человеко-машинных и робототехнических системах, т.А, 1984, с.48-50]

ПСЕВДОФИЗИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
По аналогии с современной психофизической схемой и в отличие от
классической аристотелевской логики псевдофизические логики описывают не
идеальный платоновский мир, а восприятие реального физического мира
конкретным субъектом (агентом).
Псевдофизическая логическая система представляет собой семейство
взаимосвязанных логических подсистем, которые можно отнести к двум
основным уровням.
На первом уровне находятся пространственная, временная, каузальная
логика, а также логика действий.
На втором, более высоком уровне находятся логика оценок, логика мнений,
логика норм и пр.
Следует отметить, что логики первого уровня непосредственно связаны
с взаимодействием агентов (например, роботов) с внешней средой.
Псевдофизические логики опираются на специальные шкалы: как порядковые,
так и метрические. Взаимосвязь между шкалами задается с помощью нечеткого
отношения моделирования (А.Н.Аверкин)
Суть псевдофизических логик составляет работа с событиями (т.е. с формулами,
соотнесенными с отметками на шкалах).
Взаимное положение событий на множестве шкал, возможные перемещения по шкалам и
связь этих перемещений с изменениями на других шкалах позволяют описать те
процессы вывода, которые характерны для псевдофизических систем.

ПСИХО-ЛОГИКА: ПОЛЯРНЫЕ ШКАЛЫ
СИСТЕМА ОППОЗИЦИОННЫХ ШКАЛ – ОБЪЕКТИВНАЯ ОСНОВА ПОСТРОЕНИЯ ОБРАЗА МИРА (ПО А.Н.Леонтьеву)
ОЦЕНИВАНИЕ НА ПОЛЯРНЫХ ШКАЛАХ – ВАЖНЕЙШИЙ СПОСОБ ФОРМИРОВАНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ ЗНАНИЙ
В мышлении человека порядо ксоздается из хаоса путем формирования
системы оппозиционных (полярных) шкал и различения некоторых объектов
с помощью набора оценок на этих шкалах.
У оппозиционной шкалы всегда есть два конца (полюса) и середина
(нейтральная точка), которая делит всю шкалу на две части –
положительную и отрицательную
-1 0 +1
A– A0 A+
В середине шкалы происходит переключение с одного типа оценок на другой.

НЕКОТОРЫЕ ИНТЕРЕСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА E, СВЯЗАННЫЕ
С ОППОЗИЦИОННЫМИ ШКАЛАМИ И МНОГОЗНАЧНЫМИ ЛОГИКАМИ
Пространство Лукасевича (Заде)
0
1
x
Пространство Чэна
x
+1
– 1
Пространство Де Клира Каноническое биполярное
пространство
–
0
+
?
(-1, +1)
(-1, 0)
(0, +1)
(0, 0)

«СЕРЫЕ» И «ЧЕРНО-БЕЛЫЕ» ШКАЛЫ ПО Д.А.ПОСПЕЛОВУ
Д.А.Поспелов (1994) предложил две интерпретации нейтральной точки
биполярной шкалы:
1) точка перехода от положительного свойства к отрицательному и наоборот
(точка наибольшего противоречия, семантической амбивалентности);
2) точка разрыва (точка полной неопределенности, семантического провала
оценки, перескока на другие шкалы)
АКСИОМАТИКА [Тарасов, 2001]
«СЕРЫЕ» ШКАЛЫ «ЧЕРНО-БЕЛЫЕ ШКАЛЫ»
а) A+ ↑ ⇒ A− ↓ (взаимная компенсация а*) A+ ↑ ⇒ A− ?
между оценками A+ и A−)
б) A− = n (A+) (положительная и б*) A− ≠ n (A+)
отрицательная оценки связаны между
собой отрицанием)
в) A0 есть (A+ = A−) (в нейтральной в*) A0 есть ⎤ (A+ ∨ A−)
точке обе оценки присутствуют (нейтральная точка отсутствует:
в равной степени) ни то, ни се)

ОБОБЩЕННЫЕ ШКАЛЫ
Понятие неклассической (обобщенной) шкалы ввел Д.А.Поспелов
(1994-1997).
В отличие от обычных шкал, где каждой точке соответствует
один-единственный объект, на обобщенных шкалах любой точке
может с разными степенями соответствовать множество объектов.
Кроме того, здесь можно выделить различные отношения
порядка: 1) порядок по силе (положительных или отрицательных) оценок;
2) порядок по степени определенности оценок;
3) порядок по степени противоречивости оценок.
Параллели между неклассическими логическими семантиками и обобщенными шкалами
Семантика Белнапа: Обобщенные шкалы:
отбрасываются
1) Принцип бивалентности; 1*) Принцип принадлежности;
2) Принцип однозначности. 2*) Принцип различимости.

ПЕРЕХОД ОТ ОППОЗИЦИОННОЙ К КОЛЬЦЕВОЙ ШКАЛЕ
Новая интерпретация
Деформированная решетки Скотта
оппозиционная) шкала
Переходы от противодействия
к содействию агентов и наоборот
-1
+1
0
+1 = T
(-1,+1)=B
-1 = F
0=N
-1
Противодействие
Безразличие
Содействие
0
+1

НЕСТАНДАРТНЫЕ МНОЖЕСТВА
CВЯЗЬ МЕЖДУ ИЕРАРХИЕЙ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
H = (X+,X0), X+⊆X, X0 = X \ X+
X+
X
Область
определенности
Область
неопределенности
Нестандартные множества с областью недоопределенности или
переопределенности
X = 〈X +, X −, X 0〉, где X+= {x| x∈X }, X − = {x| x∉X }, X 0 = {x| x ?X }
f (X)∈{+1, 0,5, 0}

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ
НЕСТАНДАРТНЫХ МНОЖЕСТВ
1. Переопределенное множество – это множество с избыточной и противоречивой информацией относительно принадлежности
его элементов
+1, если x∈A;
Аsd ⇔ f(x) = 0.5, если x(∈∧∉)А;
0, если x∉А.
2. Недоопределенное множество – это множество с неполной
информацией относительно принадлежности его элементов
+1, если x∈A;
Аud ⇔ f(x) = 0.5, если x(⎤∈∧⎤ ∉)А;
0, если x∉А.

ПРИБЛИЖЕННОЕ МНОЖЕСТВО
Пусть Х – множество, а R ⊆ X×X – отношение
неразличимости (эквивалентности).
Тогда пара℘ = (Х, R) образует пространство приближений.
Классы эквивалентности по отношению R называются
элементарными множествами в пространстве приближений
℘, а любая совокупность элементарных множеств образует
составное множество в ℘.
Произвольное подмножество A⊆ X можно точно определить
на основе имеющейся информации, т.е. классов эквивалентности.
Вместо этого каждое множество заменяется двумя множествами,
которые называются нижним приближением RХ = {x| |x|R⊆ X}
(наибольшее составное множество, содержащееся в Х)
и верхним приближением RХ = {x| |x|R∩X} (наименьшее составное множество,
содержащее X) соответственно.
Павляк З. Приближенные множества – основные понятия// Логические исследования. Вып.1. – М.: Наука, 1993. – С.6-19.

ПРИБЛИЖЕННОЕ МНОЖЕСТВО (продолжение)
Приближенное множество расположено
между этими двумя приближениями
RХ ⊆ Х ⊆ RХ
Для каждой пары приближений различаются
три различных области:
1) POSR (Х) = RХ (R – положительная область X, в которой все объекты определенно принадлежат множеству X);
2) NEGR (Х) = U \ Х (R – отрицательная область X, в которой все объекты определенно принадлежат дополнению X' к множеству X);
BNDR(Х) = Х \ RХ (R-пограничная область X, где содержатся все объекты, которые не могут быть с определенностью отнесены ни к X, ни к его дополнению X'.
В приближенных множествах пограничная
область позволяет моделировать неточность,
а повышение точности означает уменьшение
пограничной области

РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ ОНТОЛОГИЙ.
Общее понятие онтологии
Значительный вклад в теорию и проектирование онтологий
внесли Т.Грубер, Н.Гуарино, Р.Мизогучи, Р.Студер, Т.А.Гаврилова,
А.С.Клещев, А.В.Смирнов, С.В.Смирнов и др.
Онтология – это явное и формализованное определение
структуры некоторой проблемной области (темы).
Подобное описание всегда опирается на концептуализацию этой
области, которая обычно задается в виде системы исходных
объектов (понятий), отношений между ними и положений
(аксиом).
Поэтому онтологию часто понимают как «спецификацию
разделяемой разными людьми концептуализации» или, иначе,
отождествляют с набором сосуществующих концептуальных
моделей предметной области.
По сути, онтологии отражают соглашения о единых способах
построения и использования концептуализации.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОНТОЛОГИИ С ПОМОЩЬЮ МЕНТАЛЬНОЙ КАРТЫ

ОНТОЛОГИИ В СИСТЕМЕ МОДЕЛЕЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЗНАНИЙ

МЕРЕОЛОГИЯ Ст. ЛЕСЬНЕВСКОГО: ПРИМЕР АКСИОМАТИЗАЦИИ ОНТОЛОГИИ
Мереологией называется учение о частях целого. Как известно, в классической
теории множеств активно используются постулат различимости элементов, а
также понятие пустого множества.
В отличие от этого мереология:
1) делает акцент на целостности множества как «коллективного класса», что позволяет считать ее прямой предшественницей теории грануляции Л.Заде;
2) основана на единственном отношении «быть частью»;
3) обходится без пустого множества.
Мереология Лесьневского (партономия) опирается на следующие аксиомы,
которые положены в основу ряда моделей пространства:
1. Любой предмет есть часть самого себя (аксиома рефлексивности).
2. Две различные вещи не могут быть частями друг друга: если P – часть
предмета Q, то Q не есть часть предмета P
(аксиома антисимметричности).
3. Если P есть часть предмета Q, а Q – часть предмета R, то P есть часть предмета
R (аксиома транзитивности).
Таким образом, отношение «часть–целое» рефлексивно, антисимметрично и
транзитивно, т.е. является отношением нестрогого порядка.

ПРОСТРАНСТВО КАК ОНТОЛОГИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ
Онтология пространства – это определение множества пространственных
примитивов и множества базовых пространственных отношений.
Метод пространственной грануляции определяет способ связывания
логических утверждений с пространством.
Логические утверждения, истинность которых зависит от пространства,
называются пространственными утверждениями.
В основе построения онтологии пространства лежит выбор базовой модели
(теории) пространства.

МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВА НЬЮТОНА И ЛЕЙБНИЦА
В качестве двух классических моделей
пространства можно указать пространство
Ньютона и пространство Лейбница.
В отличие от теории «пустого» пространства
Ньютона, Лейбниц предложил реляционную
концепцию пространства, согласно которой
пространство связывается с порядком
взаимного расположения и сосуществования в
нем различных тел.
По Лейбницу, пространство представляется
неявно, через отношения между объектами.
Обычно в нем вводится определенная метрика
или топология, чтобы оценивать размеры
объектов и расстояния между ними.
Построение онтологии пространства
предполагает определение множества
пространственных примитивов, множества
базовых пространственных отношений,
задание структуры пространства – области
интерпретации пространственных примитивов
и ее свойств в виде аксиом теории
пространства, исходя из требований
предметной области.
Исходя из сравнительного анализа свойств абсолютного пространства Ньютона и реального локального пространства робота в работе для построения онтологии пространства использована базовая модель Лейбница
Поскольку, по Лейбницу реальное физическое пространство интерпретируют как множество объектов, в качестве пространственных примитивов можно использовать точки или области пространства.

ОНТОЛОГИЯ С ПРИМИТИВАМИ ВИДА ОБЛАСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА
Для онтологий, в которых примитивами являются области, можно
выделить три главных типа отношений – геометрическое
(«конгруэнтность»), мереологическое («быть частью») и
топологическое («связность»).
Конгруэнтность позволяет определить отношение сходства между
областями. В геометрии две фигуры называются конгруэнтными,
если одну из них можно перевести в другую с помощью движения.
В свою очередь, понятие связности есть математическое выражение
интуитивного представления о целостности разных геометрических
фигур. Топологическое отношение связности рефлексивно,
симметрично и монотонно.
В настоящее время построение общей онтологии пространства идет
по линии интеграции подходов мереологии и топологии:
Мереология + Топология = Мереотопология. При этом система
мереотопологии строится на основе одного-единственного
отношения связности.

МЕРЕОТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ

НЕЧЕТКИЕ РАСШИРЕНИЯ
На базе формул свойств нечетких отношений определим ряд
нечетких топологических отношений как расширения отношений
из приведенной выше таблицы.
Например, нечеткое отношение связности μC(a,b) симметрично и
рефлексивно; введем отношение пороговой связности с
помощью свойств пороговой рефлексивности и пороговой
симметричности, а также слабой связности через слабую
рефлексивность и пороговую симметричность.
В свою очередь, нечеткое отношение несвязности определим
через операцию отрицания μDC(a,b) = 1 – μC(a,b).
Нечеткое отношение «быть частью»
μP(a,b) = min{max {1– μC(c,a), μC(c,b)}
c
Нечеткое отношение «быть собственной частью» можно
определить как μPP(a,b) = = T{μP(a,b), 1–μP(b,a)}.
Например, μPP(a,b) = = min{μP(a,b),1–μP(b,a)}.

МОДИФИЦИРОВАННАЯ СХЕМА ВЗАИМОСВЯЗИ ОНТОЛОГИЙ
По сравнению с А.В.Смирнов и др. Онтологии в системах искусственного интеллекта: способы построения и организации (часть 1)// Новости искусственного интеллекта. – 2002. – №1. – С.3-13.

ОНТОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ
Предлагается описывать общую схему грануляции
информации когнитивным агентом пятеркой
GR = 〈X, G, C, M, T〉,
где X – проблемная область;
G – семейство информационных гранул;
C – множество обобщенных ограничений; каждый
тип ограничения определяет требования к выбору
метода грануляции;
M – множество формальных методов грануляции;
T – множество переходов между уровнями
грануляции (преобразований гранул).

ТИПИЧНЫЕ МОДЕЛИ ГРАНУЛ
Интервалы
Вложенные множества
Недоопределенные множества
Переопределенные множества
Приближенные множества
Мультимножества
Нечеткие множества
Лингвистические переменные
Примитивы языка гранулярных вычислений –
покрытия, разбиения, окрестности

ПРИМЕРЫ СИНГУЛЯРНЫХ И ГРАНУЛЯРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

ПРОСТРАНСТВО КАК ОНТОЛОГИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ
Онтология пространства – это определение множества пространственных примитивов и множества базовых пространственных отношений.
Метод пространственной грануляции определяет способ связывания логических утверждений с пространством.
Логические утверждения, истинность которых зависит от пространства , называются пространственными утверждениями.
В основе построения онтологии пространства лежит выбор базовой модели (теории) пространства.

МЕРЕОТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ