ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ -ТЕОРИЯ ПОЛЯ Основные характеристики скалярных полей

Примеры: поле температур, поле давления, поле плотности, поле концентраций, поле электрического заряда.

Геометрические характеристики скалярного поля -
поверхности и линии уровня.

Линия уровня - геометрическая характеристика
плоского поля
При помощи геометрических характеристик
скалярные поля можно рисовать.

Пример 2.
- потенциал точечного заряда.
- уравнение сферы

характеристики отдельной точки поля.
1. Производная по направлению
- скалярная характеристика.
Найдем, как изменяется поле в некотором направлении.

где

Из определения следует:
Смысл производной по направлению

Рассмотрим

Устремим
Рассмотрим *)

-направляющие косинусы коллинеарных векторов
Координаты орта этих векторов:

Формула для вычисления производной по направлению

2. Градиент скалярного поля
- векторная характеристика.
Смысл характеристики - позже.
Формула для вычисления – в определении характеристики.

Обозначим
Формальный дифференциальный векторный оператор Гамильтона ( оператор “набла”)

Свойства оператора “набла”
1.
2.
3.
4.

характеристики поля в целом (Integer)
Пример . Поле температур:
средняя температура
в области поля Ф.

1. Градиент и производная по направлению.

2. Смысл градиента.
Из формулы вычисления
градиента следует

Длина градиента численно равна максимальной скорости возрастания скалярного поля u .

3. Градиент и поверхности уровня.
Рассмотрим
- уравнение поверхности
уровня
- вектор нормали к касательной плоскости или к поверхности уровня

Выводы.
1. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня.
2. Направление нормали к поверхности уровня есть направление наибыстрейшего изменения скалярного поля.
Понятие градиента может быть использовано для отыскания экстремума функции нескольких переменных численными методами.

Пример.
Решение.