Векторы в пространстве

Понятие вектора.
В курсе планиметрии мы познакомились с векторами на плоскости и действиями над ними. Основные понятия для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости.
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.

Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ.
Длина вектора (вектора ) обозначается так: .
Длина нулевого вектора считается равной нулю: =0.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора коллинеарны и если при этом лучи сонаправлены, то векторы называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленным и, то
векторы называются противоположно направленными.
На рисунке 1,а изображены ненулевые
векторы нулевой вектор , а на рисунке 1,б — ненулевые векторы а, , имеющие общее начало. Нулевой вектор обозначается также символом

- векторы считаются сонаправленными.
- векторы противоположно направлены.
На рисунке 2 изображены векторы ,
; векторы не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, т.к. они не коллинеарны.
Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.

Равенство векторов.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. На рис. 2 , т.к. и ,
а , т.к. .
Если точка А — начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А.
От любой точки можно отложить вектор, равный данному, а притом только один.

Сложение и вычитание векторов.
Вектор называется суммой векторов и : .
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
Сумма не зависит от выбора точки А, от которой при сложении откладывается вектор .
Правило треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек А, В и С имеет место равенство

Правило параллелограмма.
Для сложения двух неколлинеарных векторов можно пользоваться также правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии.

Свойства сложения векторов.
Для любых векторов , и справедливы равенства:
(переместительный закон);
(сочетательный закон)
Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.
Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.
Очевидно, вектор является противоположным вектору .

Вычитание векторов.
Разностью векторов u называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору . Разность векторов а и b можно найти по формуле
Где - вектор, противоположный вектору .
На рисунке представлены два способа построения разности двух данных векторов и .