Вільні згасаючі коливання (Лекція 3)

Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань
ω0 – власна частота коливального контуру, β – коефіцієнт згасання.

Розв’язок диференціального рівняння вільних згасаючих коливань
У цьому рівнянні амплітуда коливань вже є сама функцією часу та зменшується з часом за експоненційним законом (на рисунку – пунктирний графік):
Частота вільних згасаючих коливань визначається виразом:
вона завжди менша за власну частоту і є тим меншою, чим більший активний опір чи тертя.
Період вільних згасаючих коливань визначається через частоту згасаючих коливань і завжди є більшим за період власних коливань:

Умова для можливості коливань.
Аперіодичний процес
З виразу для частоти вільних згасаючих коливань ( ) очевидно, що коливання будуть спостерігатись лише за умови додатного підкореневого значення. Для електричного контура це означає, що існує деяке критичне значення опору, який можна включити у контур, більше якого коливання не можуть відбуватися, а буде спостерігатись лише аперіодичний розряд конденсатора (графік на рисунку).
Процес називається аперіодичним, коли система після збурення повертається до стану рівноваги монотонним чином.
Критичний опір визначається з рівності власної частоти до коефіцієнту згасання:

Характеристики вільних згасаючих коливань
Основними характеристиками вільних згасаючих коливань є:
коефіцієнт згасання β;
час релаксації τ;
логарифмічний декремент згасання λ;
добротність Q.

Коефіцієнт згасання та час релаксації
Ми вже визначили коефіцієнт згасання як β=r/2m для механічних коливань чи β=R/2L для електричних коливань, причому він має розмірність частоти.
Час релаксації τ – це часовий проміжок, за який амплітуда коливань зменшується у е разів. Відношення амплітуд у момент часу 0 та момент часу τ дає нам вираз:
Отже бачимо, що коефіцієнт згасання та час релаксації є взаємнооберненими величинами.

Логарифмічний декремент згасання
Логарифмічний декремент згасання вводиться як величина, що обернена до кількості коливань за час релаксації: . Оскільки кількість коливань можна виразити з відношення
обернений дріб буде дорівнювати логарифмічному декременту згасання: .
Крім цього, згадавши, що час релаксації обернена величина до коефіцієнту згасання, можна визначити логарифмічний декремент згасання як
Розглянемо амплітуду в деякий момент часу та амплітуду через один період коливань
та візьмемо їх відношення: звідки, взявши натуральний логарифм від обох частин виразу, отримаємо:

Виразимо логарифмічний декремент через параметри коливального контура – R, L, C. Для цього у вираз підставимо та
Виконання математичних перетворень призводить до виразу
який можна спростити для випадку слабкого згасання, при якому :

Добротність коливального контура
Добротність характеризує втрати енергії під час коливального процесу.
Розглянемо відносне зменшення енергії за період коливань від моменту повного заряду конденсатора: , ,
За невеликих значеннях показника степені можна розкласти експоненту в ряд:
Тоді отримаємо більш простий вираз для добротності, який пов’язує її з логарифмічним декрементом: .