Вписанные углы

Устная работа
Дано: ∪АВ : ∪ВС : ∪АС=2:3:4
Найти: ∠АОВ, ∠ВОС, ∠АОС
Дано:
∠МОN=∠EOK, ∠MON : ∠NOK : ∠MOE= 3:4:5
Найти: ∪МЕ, ∪NK, ∪КЕ.

Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный ∠ АВС опирается на ∪ АМС.
Вписанный угол
B
O
C
M
A
B
O
C
M
A

Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается
Пусть ∠ АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на ∪ АС. Докажем, что ∠ АВС = половине ∪ АС (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно ∠ АВС. Рассмотрим их.

Рассмотрим 1 случай расположения луча ВО относительно ∠ АВС.
Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае ∪ АС меньше полуокружности, поэтому ∠ АОС= ∪ АС. Так как ∠ АОС − внешний угол равнобедренного Δ АВО, а ∠ 1 и ∠ 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠ АОС = ∠ 1+ ∠ 2 = 2∠1. Отсюда следует, что 2∠1 = ∪АС или ∠ АВС = ∠ 1 = 1/2 ∪ АС.
O
B
2
1
C
A

Рассмотрим 2 случай, когда луч ВО делит ∠ АВС на два угла.
В этом случае луч ВО пересекает ∪ АС в некоторой точке D. Точка D разделяет ∪ АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1 ∠ АВD = 1/2 ∪AD и ∠ DBC= 1/2 ∪ DC. Складывая эти равенства попарно, получаем: ∠ ABD + ∠ DBC = 1/2 ∪ АD + 1/2 ∪ DC, или ∠ АВС= 1/2 ∪ АС.
A
B
C
D

Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно ∠ АВС
 АВD− равнобедренный, ∠ AOD - внешний, т.к.  ABD - равнобедр. То ∠ 1 = ∠ 2 => ∠ AOD = ∠ 1 + ∠ 2 = 2∠1 = ∪ AD, следовательно ∠ ABD = 1/2 ∪ AD.
Аналогично:  ВСО равнобедр. ∠ COD - внешний, следовательно ∠ СВD= 1/2 ∪ CD.
Следовательно, ∠ АВС=1/2 ∪ АС
A
O
B
C
D

РАССМОТРИМ 1 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ
Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.