ВВЕДЕНИЕ В теорию ЦЕПЕЙ МАРКОВА И ЕЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ приложения

ЗАДАЧА О ПЬЯНОМ МАТРОСЕ

Примеры реализации случайных блужданий матроса
MCh1

Вероятность выхода
Число шагов матроса
Число шагов матроса
Влияние полного числа испытаний на разброс вероятности выхода матроса: а – 10 тестов по 50 испытаний; б – 10 тестов по 5000 испытаний
MCh2

Цепная модель процесса случайных блужданий матроса – цепь Маркова

Sk+1=PSk
Матричная запись
qk=S5kp65=S6k+1 - S6k

Эволюция состояния процесса случайных блужданий
MCh3

Одномерная диффузия. Виды и влияние краевых условий
d
p12=d
p32=d+v
p22=1-2d-v
v
Выделение симметричной
составляющей вероятностей
перехода
- Матрица диффузии:

Эволюция содержания диффундирующего вещества на отрезке с закрытыми границами
S∞=РS∞ → S∞ - один из собственных векторов Р, соответствующим собственному числу λ=1
Sjk
Sj30≈ Sj∞
Sj∞
k
j
j
MCh4

Диффузия с источниками или процесс с порождением частиц
Sk+1=PSk+Sfk
Sfk – вектор подачи
MCh5

Коллектор
p55=1
Виртуальный
(регистрирующий)
коллектор
p55=0
P66=1
Коллектор
«Рабочие» ячейки цепи
Полное пространство состояний
Неполное пространство состояний
Неполное пространство состояний
Разное представление пространства состояний
S∞= (I-PR)-1Sf

Случайные блуждания и диффузия на плоскости
5 тестов по 1000 испытаний
Число шагов матроса
Вероятность выхода
MCh6

Структура переходной матрицы

5 6
MCh7

Конец лекции 1
Спасибо за внимание

ABC ТЕОРИИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО)

событие: сис-ма пере-
ходит из состояния i в состояние j;
PI J(t) – поток событий;
λI J = PI J(t, ∆t)/ ∆t – интен-
сивность потока событий
(плотность вероятности
перехода.
Стационарный случайный процесс
λI J = const
ПОТОКИ СОБЫТИЙ

N систем: NS1 - работает, NS2 - не работает (в ремонте)
уходит из 1 : NS1ν
В ед. времени NS1ν = NS2μ
приходит в 1 : NS2μ S1 + S2 = 1
Доход Д = Д0 S1
S1 = μ /(μ + ν) 1 / 2 1 / 3 2 / 3
ν= μ ν= 2μ ν= 0,5μ
S2 = ν /(μ + ν) 1 / 2 2 / 3 1 / 3
ПОТОКИ СОБЫТИЙ И ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЯ

S1
Работают оба устройства 1 и 2
S2
2-ое работает
1-ое в ремонте
S3
1-ое работает
2-ое в ремонте
S4
Оба в ремонте
μ1
ν1
ν2
μ2
ν1
μ1
ν2
μ2
Пространство состояний и возможные переходы
в системе с двумя устройствами
ν1=0,05; ν2=0,1; μ1=0,1; μ2=0,15. S1∞=0,4; S2∞=0,2; S3∞=0,2667; S4∞=0,1333.
Оба устройства работают одновременно с вероятностью 0,4, а оба не работают с вероятностью 0,1333

Многоканальная СМО с отказами
Потому что все равно, какой
канал освободится, а их 2
ν - интенсивность потока заявок (1/ν – время чередования заявок), μ – интенсивность потока обслуживания (1/μ – время обслуживания одной заявки).

SS=1–SR
SSν - интенсивность потока обслуженных заявок. Каждый занятый канал обслуживает в единицу времени μ заявок.
SSν/μ или (1–SN+1)ν/μ – число занятых каналов
Доля занятых каналов – поделить на их общее число N.

Одноканальная СМО с очередью
среднее число заявок в очереди
среднее время стояния заявки в очереди
NL =2,2; TL = 4,4 ед. вр.
NL =5; TL =10 ед. вр.
Si
Si
i
i
3
6

Итак, игрок начинает игру, имея в кармане $2. Каждый раз он ставит на кон $1. С вероятностью р он выигрывает эту игру, а с вероятностью 1 – р проигрывает. Его цель – увеличить свою сумму до $4; если цель достигается, то он игру заканчивает. Естественно, он заканчивает игру, если у него не остается денег, то есть после очередной партии он имеет $0.
$
$
$
$
$
$
$
$
$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Номер игры
Разные задачи Игрок

Разные задачи Пенсионные отчисления
Неработающие дети (1), работающие взрослые (2), пенсионеры (3) и умершие (4). Пусть каждый год 0,04 детей становятся работающими взрослыми, а 0,001 умирают; 0,03 работающих взрослых уходят на пенсию, а 0,01 умирают; умирает также 0,05 пенсионеров. Найти установившееся число жителей в группах, если в год рождается 1000 детей.
N1=24390; N2=24390,24; N3=14634,14
Пусть пенсия у пенсионеров составляет $5000 в год и формируется из отчислений дохода работающий взрослых.
Годовые пенсионные отчисления с работающих
5000*14634,14/24390,24=$3000 в год с каждого