W3 analiza wspzalenoci

Analiza współzależności
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona
Współczynnik korelacji rang Spearmana
Analiza zależności
Liniowa funkcja regresji
Badanie niezależności dwóch cech jakościowych

ISTOTA KORELACJI I REGRESJI
KORELACJA daje możliwość stwierdzenia, czy istnieje związek (niekoniecznie przyczynowo-skutkowy) miedzy badanymi cechami (zmiennymi) oraz jaka jest jego siła i kierunek
REGRESJA daje możliwość oszacowania (estymacji) wartości jednej cechy (zmiennej zależnej, objaśnianej) na podstawie wartości przyjmowanych przez drugą cechę (zmienną niezależną, objaśniającą)
FUNKCJA REGRESJI, której parametry można oszacować przy pomocy metody najmniejszych kwadratów (MNK). Równanie opisujące związek statystyczny między zmiennymi nazywa się równaniem lub modelem regresji.

Sir Francis Galton – 1822-1911, prekursor badań nad inteligencją, statystyk, meteorolog, antropolog, kryminolog. Pisarz, lekarz.
W 1899 r. w pracy „Naturalna dziedziczność” ogłosił, że rozmiary nasion groszku pachnącego mają tendencję w kolejnych generacjach do powracania (to regress) do swego średniego rozmiaru, podobnego związku dopatrzył się także między wzrostem syna i ojca itd.
Dopasowywał do tych par liczb linię prostą opisującą tę zależność

Zależność przyczynowa – rodzaj zależności, w której jesteśmy w stanie wskazać, która ze zmiennych stanowi przyczynę zmian, a która ilustruje skutek. Przykładem zależności przyczynowej może być związek pomiędzy stażem pracy (przyczyna) i wysokością zarobków (skutek).
Zależność pozorna – pomiędzy dwoma zjawiskami wydaje się istnieć zależność, ale jest ona wywołana istnieniem wspólnej przyczyny. Przykładowo waga i poziom cholesterolu w organizmie wydają się być powiązane ze sobą, niemniej jednak jest to zależność pozorna. W rzeczywistości posiadają wspólną przyczynę – ilość i rodzaj spożywanych produktów
Zależność korelacyjna – zależność w której dla konkretnej wartości jednej zmiennej Xi (zmienna objaśniająca) odpowiada średnia arytmetyczna z kilku wartości drugiej zmiennej Y1, Y2, ...(zmienna objaśniania).

Zmienna niezależna – zmienna która wywołuje zmiany, stanowi ich przyczynę.
Zmienna zależna – zmienna, której wartości są w mniejszym lub większym stopniu kształtowane przez zmienną niezależną (zmienne niezależne).
Stwierdzenie braku zależności w jednych okolicznościach, nie przesądza o jej nieistnieniu w innych okolicznościach
Wykres korelacyjny (rozrzutu) – dla każdego i-tego przypadku nanosimy na układ współrzędnych punkt o współrzędnych (Xi, Yi), gdzie Xi i Yi to kolejne wartości badanych zmiennych.

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

Przykład
Dla sześciu studentów zmierzono czas pisania egzaminu oraz uzyskaną liczbę punktów. Obliczenia rozpoczynamy od ustalenia średnich dla zmiennej X (czas pisania) oraz Y (liczba punktów):
WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

Korelacja ujemna, średnia
Korelacja niewyraźna, znikoma
Korelacja ujemna, b.silna
Korelacja dodatnia, b.silna

Współczynnik korelacji rang Spearmana służy do opisu siły korelacji dwóch cech w przypadku gdy:
Cechy są mierzalne, a badana zbiorowość jest nieliczna.
Cechy mają charakter jakościowy i istnieje możliwość ich uporządkowania.
Współczynnik korelacji rang Spearmana stosuje się do analizy współzależności obiektów pod względem cech X i Y.
Kolejne etapy wyznaczania współczynnika korelacji rang Spearmana są następujące:
Jednostki danej zbiorowości statystycznej, ze względu na wielkość odpowiadającej im pierwszej cechy, porządkuje się.
Tak uporządkowanym ze względem na pierwszą cechę jednostkom, przypisuje się kolejne numery począwszy od 1. Jeżeli kilka jednostek ma tę samą wielkość cechy, wtedy z odpowiadających im kolejnych rang oblicza się średnią arytmetyczną i przydziela wszystkim jednostkom, z których ta średnia została obliczona. Następna jednostka otrzymuje już najbliższą, niewykorzystaną dotąd rangę. Ostatni numer powinien równać się łącznej liczbie jednostek.
Następnie dla jednostek drugiej cechy w analogiczny sposób przypisuje się numery począwszy od 1 (dla jednostki o najniższej lub najwyższej wartości).
WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA

W modelach regresji zależność pomiędzy jedną lub większą ilością zmiennych niezależnych (predykatory, zmienne wyjaśniające) a zmienną zależną (zmienna wyjaśniana) przedstawiamy w postaci tak zwanej funkcji regresji.
Poniżej przedstawiono przykłady wykorzystania modeli regresji do rozwiązywania praktycznych problemów:
Określenie zależności pomiędzy wiekiem, poziomem wykształcenia (mierzonym na przykład przez liczbę lat), stażem pracy a wysokością zarobków w danej branży.
Określeniem wpływu działań marketingowych (mierzonych na przykład wydatkami na reklamy telewizyjne, prasowe, billboardy, etc.) na przyszłą sprzedaż produktu.
Określenie wpływu wieku, wagi, aktywności ruchowej (mierzonej na przykład liczbą godzin w tygodniu przeznaczoną na uprawianie sportu) a kondycją fizyczną (mierzoną na przykład wynikiem biegu na 1km).
FUNKCJA REGRESJI

Karol Fryderyk Gauss, ur. w 1777 roku w Niemczech. Ojciec Karola był pomocnikiem murarskim i swojego syna początkowo przeznaczał do podobnej kariery. Na szczęście niepospolity talent młodziutkiego Gaussa objawił się na tyle wcześnie i w sposób tak ewidentny, że znalazł się oświecony i możny sponsor, dzięki któremu matematyka nie straciła jednego ze swoich najwybitniejszych uczonych. Nauczycielu matematyki kazał swoim uczniom (8-9letnim) obliczyć sumę liczb od 1 do 100. Karol po pięciu minutach przedstawił kartkę z rzeczywiście króciutkim wywodem:
101x50=5050
Jeszcze jako uczeń gimnazjum Gauss sformułował metodę najmniejszych kwadratów

Funkcja regresji - to narzędzie do badania powiązań między zmiennymi. Funkcja regresji to analityczny wyraz przyporządkowania średnich wartości zmiennej zależnej konkretnym wartością zmiennej niezależnej.
Dużym problemem jest wybór postaci analitycznej funkcji dla danego problemu. Ułatwieniem może być sporządzenie m.in. wykresu rozrzutu, gdzie dla każdej (i-tej) pary wartości zmiennej niezależnej (X) i zmiennej zależnej (Y) tworzymy punkt o współrzędnych Xi, Yi.
Jeżeli zmiennych niezależnych jest więcej, wówczas konstruujemy odpowiednio większą ilość wykresów rozrzutu, przedstawiających zależność pomiędzy każdą zmienną niezależną (oś pozioma) a zmienną niezależną. Z wykresu (wykresów) odczytujemy prawdopodobny rodzaj zależności pomiędzy zmiennymi niezależnymi a zmienną zależną.
FUNKCJA REGRESJI

FUNKCJA REGRESJI

FUNKCJA REGRESJI

Mamy do czynienia tylko z jedną zmienną niezależną X.
Zależność pomiędzy zmienną niezależną X a zmienną zależną Y ma charakter liniowy.
Naszym zadaniem jest wyznaczenie liniowej funkcji regresji, o ogólnej postaci:
y = a + bx
Gdzie:
y - wartość przewidywana na podstawie wartości x
a - parametr a jest nazywany wyrazem wolnym i odpowiada wartości funkcji y dla argumentu x = 0
b - współczynnik kierunkowy, który decyduje o tym, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca oraz jak szybko następują zmiany (jeśli b jest dodatnie, to funkcja jest rosnąca – to znaczy, im większe wartości zmiennej x, tym większe wartości funkcji, czyli y)
Do wyznaczenia parametrów tej funkcji (a i b) wykorzystuje się metodę najmniejszych kwadratów.
FUNKCJA REGRESJI

FUNKCJA REGRESJI

FUNKCJA REGRESJI

W wyjaśnianiu wielu zjawisk istotną rolę odgrywają zmienne niemierzalne, tj.
jakościowe. I tak, na wielkość popytu na dany produkt oprócz jego walorów użytkowych wielki wpływ ma marka. Dotyczy to w szczególności takich produktów jak samochody, odzież, zegarki czy sprzęt elektroniczny. W analizie wydajności pracy w rozmaitych zawodach istotną rolę odgrywa płeć pracownika. Ma ona także wpływ na wynagrodzenie.
To ostanie z kolei w sposób oczywisty zależy od stanowiska. Wielkość dochodów ludności zależy od kraju, który ona zamieszkuje, itd.
Podobne wielkości występują przy analizie rozmaitych procesów chemicznych czy fizycznych (np. rodzaj użytego tworzywa, sposób (technika) obróbki, itp.)
Wartości zmiennej jakościowej nazywamy kategoriami lub wariantami.
Jeśli różnych kategorii zmiennej jakościowej jest stosunkowo niewiele, to zmienną taką możemy łatwo włączyć do modelu regresji.

Dla danych jakościowych, mierzonych na skali nominalnej lub porządkowej analizę współzależności zwykle rozpoczynamy od utworzenia tabeli krzyżowej. W pierwszej kolumnie warianty cechy X, natomiast w pierwszym wierszu tabeli umieszczamy warianty zmiennej Y. Możliwe jest także utworzenie tabeli krzyżowej dla zmiennych ilościowych, mierzonych na skali przedziałowej lub ilorazowej. Wówczas gdy liczba wszystkich przyjmowanych wartości przez zmienną X i Y (liczbę możliwych wartości będziemy oznaczać symbolami k i l) jest względnie mała, wpisujemy je wszystkie w odpowiednie wiersze i kolumny. W przypadku dużej liczby możliwych wartości niezbędne jest ich pogrupowanie przy użyciu przedziałów klasowych.
WSPÓŁZALEŻNOŚC CECH JAKOŚCIOWYCH