Задача Эйлера

Февраль 7, 2021

Главная
Разное
Задача Эйлера

Содержание

2. Теорема Эйлера Теорема. Для связного простого графа имеет место равенство В - Р + Г =
3. Решение задачи Эйлера Предположим, что можно провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу. Рассмотрим
4. Упражнение 1 Посчитайте число вершин (В), ребер (Р) и областей (Г) для графов, изображенных на рисунке.
5. Упражнение 2 Посчитайте число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) для многогранников, изображенных на рисунке.
6. Упражнение 3 Два соседа имеют: а) три общих колодца; б) четыре общих колодца. Можно ли провести
7. Упражнение 4 Три соседа имеют: а) два общих колодца; б) четыре общих колодца. Можно ли провести
8. Упражнение 5 Четыре соседа имеют четыре общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки так, чтобы каждый
10. Скачать презентацию

Слайд 2

Теорема Эйлера
Теорема. Для связного простого графа имеет место равенство В - Р

+ Г = 2, где В - число вершин, Р - общее число ребер, Г - число областей (граней), на которые граф разбивает плоскость.

Доказательство. Стянем какое-нибудь ребро графа, соединяющее две вершины, в точку. При этом число ребер и число вершин уменьшаться на единицу и, следовательно, В – Р + Г не измениться. Продолжая стягивать ребра, мы придем к графу, у которого имеется одна вершина, а ребрами являются петли. Уберем какое-нибудь ребро. При этом число ребер и число областей уменьшаться на единицу и, следовательно, В – Р + Г не изменится. Продолжая убирать ребра, мы придем к графу, у которого имеется одна вершина и одно ребро. У этого графа В = 1, Р = 1, Г = 2 и, следовательно, В – Р + Г = 2. Значит, для исходного графа также выполняется равенство В – Р + Г = 2.

Слайд 3

Решение задачи Эйлера
Предположим, что можно провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к

каждому колодцу. Рассмотрим граф, вершинами которого являются домики и колодцы, а ребрами – дорожки. У него В = 6, Р = 9 и, следовательно, Г = 5. Каждая из пяти областей ограничена, по крайней мере, четырьмя ребрами, поскольку, по условию задачи, ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Так как каждое ребро разделяет две области, то количество ребер должно быть не меньше (5∙4)/2 = 10, что противоречит тому, что их число равно 9.