Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Определение:
фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f , осью Ох и прямыми х = а,
х = b .

n
Площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности S
n
S = Lim S
n
n
~

Понятие определенного интеграла.
1. Разбиваем отрезок [а;в] на nравных частей.
2. Составляем сумму площадей прямоугольников.
3. Вычисляем предел S = Lim S
n
Этот предел называют определенным интегралом от функции у = f(x) по отрезку [a;b]

«Интеграл» - латинское слово integro – “восстанавливать” или integer – “целый”.
Одно из основных понятий математического анализа, возникшее в связи потребностью измерять площади, объемы, отыскивать функции по их производным.

Знак ∫ - стилизованная буква S от латинского слова summa – “сумма”. Впервые появился у Г.В. Лейбница в 1686 году.

Формула Ньютона- Лейбница
Если f(х)– непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b]
функция , а F(х) – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.

Исаак Ньютон
Исаак Ньютон
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц.
1646 - 1716
1643-1727

великих деятелях, как сэр Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Конфликт возник вокруг исследований о функциях. Раздор о первенстве в получении результатов привлек внимание всей общественности своего времени. Но было ли место для конфликта? Сегодня достоверно известно, что нет. Ведь каждый из них шел своим путем, и лишь один Бог ведает, как сильно могла уйти вперед наука, если бы эти мыслители встретились тогда в далеком прошлом.
великих деятелях, как сэр Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Конфликт возник вокруг исследований о функциях. Раздор о первенстве в получении результатов привлек внимание всей общественности своего времени. Но было ли место для конфликта? Сегодня достоверно известно, что нет. Ведь каждый из них шел своим путем, и лишь один Бог ведает, как сильно могла уйти вперед наука, если бы эти мыслители встретились тогда в далеком прошлом.

х
х
у
0
в
а
а=0, в= 4, у = 4х – х2

1
1
3
х
у
0
У= 1, У = 3, Х =0

.
.

Площадь фигуры
Объем тела вращения
Работа электрического заряда
Работа переменной силы
Центр масс
Формула энергии заряженного конденсатора