Здесь ведь как с дыркой от бублика. Скажем ли мы: "внутри нет ничего", или будем утверждать: "есть дырка", - все это сплошные абстракции

В Толковом словаре русского языка В С.И.Ожегова и Н.Ю.Шведовой дается такое определение: цели в нужном для нас смысле:
Цель - 2. Предмет стремления, то, что надо, желательно осуществить.
Во всемирной Интернет - энциклопедии ( Википедия) этот термин определяется так:
Цель:
желаемый результат (предмет стремления); то, что хочется осуществить.
чётко описанное желательное состояние, которого необходимо достигнуть.
предвосхищаемый в сознании результат деятельности.
Это определение практически совпадает с определением Ожегова.
В Большом бухгалтерском словаре, имеется следующее определение:
Цель:
1. предмет стремления, то что надо осуществить; задача, которую необходимо решить;
2. характеристика поведения системы, направленного на достижение определенного конечного состояния.
Обычно формальным выражением Ц. является целевая функция системы. Поведение системы часто удобно описывать в терминах Ц. и средств ее достижения.

Целевая функция
Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации.
В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в сравнении с другим. Цель – найти такие оценки, при которых целевая функция достигает минимума.
Важно, что критерий всегда привносится извне, и только после этого ищется правило решения, которое минимизирует или максимизирует целевую функцию.
Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие Rn и заданные набором равенств и неравенств.

Постановка задачи оптимизации.
Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:
1 Допустимое множество — множество
X={x→⎪gi(x→)≤0, i=1,…,m};
2 Целевую функцию — отображение f:X→R;
3 Критерий поиска (max или min).
Тогда решить задачу f(x)→min (x→∈X) означает одно из:
1 - Показать, что X=∅.
2 - Показать, что целевая функция f(x→) не ограничена.
3 - Найти x→*∈X:f(x→*)=min f(x→) (x→∈X).
4 - Если ¬∃x→*, то найти inf f(x→) .
Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек x0 таких, что всюду в некоторой их окрестности f(x)≥f(x0) для минимума и f(x)≤f(x0) для максимума.
Если допустимое множество X=Rn, то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.

Полезность блага или товара — есть способность его удовлетворять какой-нибудь человеческой потребности.
Полезность блага тем выше, чем большему числу потребителей оно служит, чем настоятельнее и распространеннее эти потребности и чем лучше и полнее оно их удовлетворяет. Полезность является необходимым условием для того, чтобы какой-нибудь предмет приобрел меновую ценность. Некоторые экономисты пытались даже построить на Полезности теорию меновой ценности (см. Ценность).
Ценность — значимость (польза, полезность) некоторого множества объектов для множества живых существ.
Употребляется в нескольких смыслах:
«Ценность» — как название предмета, обозначающее признание его значимости. Разделяют «Материальные ценности» и «Духовные ценности». Известно понятие «Вечные ценности».
«Ценность» — в экономике — используется как синоним понятию «потребительная стоимость», т.е. значимость, полезность предмета для потребителя.

Функция полезности — экономическая модель для определения предпочтений экономических субъектов. Основоположным условием концепта функции полезности является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности. В микроэкономике концепт функции полезности служит для объяснения поведения потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике им пользуются для изображения предпочтений государственных интересов. Первая производная функции полезности по количеству определённого блага ∂U/∂Ci называется предельной полезностью этого блага. Предельная полезность выражает, сколько дополнительной полезности приносит дополнительная единица блага i. Предельная полезность, равная 0, означает достижение насыщенности.

Терминология в алгебраических системах и моделях
Алгебраической системой (или просто системой) называется объект A=
, состоящий из трех множеств: непустого множества A, множества операций ΩF = {F0, …,Fξ,…} и множества предикатов ΩP = {P0,…,Pη,…}, заданных на множестве A.
Множество A называется носителем или основным множеством системы A.
В отличие от других операций и предикатов, которые могут быть определены на множестве A, операции Fi и предикаты Pj называются основными или главными. Значения главных нульарных операций системы называются главными или выделенными элементами этой системы.
Объединяя множества ,ΩF и ΩP системы A и полагая Ω = ,ΩF ∪ ΩP, мы можем записать систему A более кратко: A=
. Очень часто множество Ω называют сигнатурой.
Алгебраическая система A=
называется алгеброй, если ΩP = ∅, и моделью или реляционной системой, если ΩF = ∅.

n-арная операция на A - это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество An→A. По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности.
Операция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин операция как правило применяется к арифметическим или логическим операциям, в отличие от термина оператор, который чаще применяется к некоторым отображением множества на себя, имеющим замечательные свойства

Предикат (n-местный, или n-арный) — это функция с множеством значений {0,1} (или «ложь» и «истина»), определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом, каждый набор элементов множества M он характеризует либо как «истинный», либо как «ложный».
Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1.
Высказыванием называется утверждение, о котором совершенно точно можно сказать, истинно оно или ложно. Если использовать термин "высказывание", то можно дать другое определение термину "предикат".
Выражение с n переменными, определенными на заданных областях, которое становятся высказыванием при любой подстановке допустимых значений переменных, называется n-местным предикатом.
Предикаты часто записывают в виде P(x), Q(x,y).

Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах.
Сейчас термин отображение чаще всего называют функцией.
Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому элементу x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Теоретико-множественное определение: функция или отображение — это кортеж множеств F = (f,X,Y), обладающий следующими свойствами:
f ⊆ X × Y (декартово произведение X и Y)
∀(x,y) ∈ f, ∀(x',y') ∈ f, x = x' → y = y'.
∀x ∈ X ∃y ∈ Y : (x,y) ∈ f.
Для обозначения отображения используются такие формулы:
F = (f, X, Y), F:X → Y для отображения F множества X в множество Y.
Множество X называется областью определения отображения F.
Множество Y называется областью значений отображения F.
(x,y) ∈ f, y=F(x)
Элементы x называют аргументами функции, а соответствующие элементы y — значениями функции.

В математике кортеж — последовательность конечного числа элементов. Многие математические объекты формально определяются как кортежи. Например, граф определяется как кортеж (V,E), где V — это набор вершин, а E — подмножество V × V, обозначающее рёбра.
Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.).
Формальное определение отношения.
n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах M1,M2,…,Mn, называется подмножество прямого произведения этих множеств.
Иногда понятие отношения определяется только для частного случая M=M1=M2=…=Mn для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:
∈ R

Формулы и первичные символы
Следует рассмотреть, какие первичные символы могут использоваться при записи формул в алгебраической системе.
Это прежде всего числа, переменные, символы арифметических операций: +, -, *(умножить), /(разделить); символы логических операций: ∧, ∨, ¬ , → (если то), ↔ (тогда и только тогда, равнозначность, эквивалентность); символы операций отношения: < , > , = , ≠ , ≤ , ≥; кванторы предикатов: ∀ (для всех), ∃(существует); символы операций над множествами: ∩, ∪, ⊂, ⊄, ⊆, ∈, ∉, ⇒ (если то), ⇔ (тогда и только тогда, равнозначность, эквивалентность) ; круглые скобки (, ) для определения последовательности выполнения операций; и др.

Примеры записи и чтения
Высказывание ∀xP(x) означает, что область истинности предиката P(x) совпадает с областью значений переменной x.
(«Его можно читать так: Для все значений x высказывание P(x) верно»).
Высказывание ∃xP(x) означает, что область истинности предиката P(x) непуста.
(«Его можно читать так: Существует x при котором высказывание P(x) верно»).
Пример записи высказывания с использованием предикатов:
A=B⇔(∀x)[x∈A⇔x∈B]
Квадратные скобки [ ] задают область определения.
Здесь приведена аксиома равенства двух множеств A и B.
Аксиома читается так: Множества A и B равны, тогда и только тогда, когда для всех x в области определения выполняется условие: x принадлежит A тогда и только тогда, когда x принадлежит B.
Другой пример. Определение декартова произведения через предикаты.
A × B = {(x,y)⏐x ∈A ∧ y∈B}
Определение читается так: Декартово произведение множеств A и B - это множество (фигурные скобки) пар (x,y) таких, что x принадлежит A и y принадлежит B.

Формальная (аксиоматическая) теория
Формальная (аксиоматическая) теория, формальное исчисление — это понятие, разработанное в рамках формальной логики в качестве основы для формализации теории доказательства. Формальная теория — разновидность дедуктивной теории, где множество теорем выделяется из множества формул путем задания множества аксиом и правил вывода.
Определение
Формальная теория T— это:
- конечное множество A символов, образующих алфавит;
- конечное множество F слов в алфавите A, F ⊂ A*, которые называются формулами;
- подмножество B формул, B⊂ F, которые называются аксиомами;
- множество R отношений R на множестве формул, R ∈ R, R⊂ Fn+1, которые называются правилами вывода.

Можно сказать, что формальная теория T это четверка:
T=
где A – алфавит,
F – множество формул, F ⊂ A*;
B – множество аксиом, B⊂ F;
R – множество правил вывода, R ∈ R, R⊂ Fn+1.
Множество символов A может быть конечным или бесконечным. Обычно для образования символов используют конечное множество букв, к которым при необходимости приписываются в качестве индексов целые числа или выражения.
Множество формул F обычно задаётся индуктивным определением, например, с помощью формальной грамматики. Как правило, это множество бесконечно. Множества A и F в совокупности определяют язык или сигнатуру формальной теории.
Множество аксиом B может быть конечным или бесконечным. Если множество аксиом бесконечно, то, как правило, оно задаётся с помощью конечного числа схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом. Обычно аксиомы делятся на два вида: логические аксиомы (общие для целого класса формальных теорий) и нелогические или собственные аксиомы (определяющие специфику и содержание конкретной теории).
Множество правил вывода R, как правило, конечно.

Математическая формула (от лат. formula — уменьшительное от forma — образ, вид ) — всякая символическая запись (в виде выражения, равенства или неравенства), содержащая какую-либо информацию. По сути это символьные выражения либо точного, либо приближенного, либо неверного соответствия между математическими выражениями.
Аксиома (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) или постулат — утверждение (факт), принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств.
Теорема (др.-греч. θεώρημα — «зрелище, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). Частным случаем теорем являются аксиомы, которые принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований. Для аксиом доказательством служит пустой вывод.
В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.

Материя — фундаментальное физическое понятие, связанное с любыми объектами, существующими в природе, о которых можно судить благодаря ощущениям.

В математике доказательством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

Заключение
Из выше сказанного можно сделать вывод, что формальную теорию можно охарактеризовать, используя следующие главные компоненты:
- Основные символы (алфавит);
- правила образования слов (формул);
- аксиомы;
- правила вывода.
Множество основных символов содержит символы для обозначения констант, операторов и т.д. Из этих символов, согласно правилам образования, строятся утверждения (формулы).
Первичные утверждения, истинность которых принимается без доказательства, называются аксиомами системы.
В соответствии с правилами вывода из истинных утверждений выводятся новые истинные утверждения – теоремы.