3. Работа и энергия

Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия материи.
С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.
В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других—переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое).
Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Чтобы количественно характеризовать обмен энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила, которая составляет некоторый угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции этой силы на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:
(11.1)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя.
Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение , то силу можно считать постоянной, а движение точки ее приложения — прямолинейным.
Элементарной работой
силы на перемещении называется скалярная величина

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути.

Эта сумма приводится к интегралу
Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы от пути S вдоль траектории 1—2. Пусть эта
зависимость
представлена
графически (рис. 14),
тогда искомая работа
A определяется на
графике площадью.
(11.2)

Если, например, тело движется прямолинейно, сила F = const и α =const, то получим
где S — пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).
Из этой формулы следует, что при работа силы положительна.
Если , то работа силы отрицательна.
При (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.
Единица работы—джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м
(1 Дж=1 Н•м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:
За время dt сила совершает работу , и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени
т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.
Единица мощности—ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).
(11.3)

§ 12. Кинетическая и потенциальная энергии
Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.
Сила, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы.
Таким образом, работа dA силы на пути, который тело прошло за время возрастания скорости, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона
и умножая обе части равенства на перемещение , получим
Так как ,
То
откуда

Таким образом, тело массой т, движущееся со скоростью, обладает кинетической энергией
Из формулы (12.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.
В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы.
Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.
(12.1)

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений.
Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них,— консервативными.
Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П.
Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
Или
Исходя из (12.3):
(12.2)
(12.3)

Для консервативных сил
или в векторном виде
Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом скаляра П.
(12.4)
(12.5)

Наряду с обозначением grad П применяется также обозначение с помощью символического вектора, называемого оператором Гамильтона (У. Гамильтон, - ирландский математик и физик) или набла-оператором:
Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля.
Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна
(12.6)
(12.7)

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна).
Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h'), П = —mgh'.
Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

— проекция силы упругости на ось х;
k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную деформации х.
По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.
Элементарная работа dA, совершаемая силой Fx при бесконечно малой деформации dx, равна

а полная работа
идет на увеличение потенциальной энергии пружины.
Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела
Потенциальная энергия системы, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.
П = kx2/2.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия равна сумме кинетической и потенциальной энергий :

§ 13. Закон сохранения энергии
Рассмотрим систему материальных точек
массами , движущихся со скоростями . Пусть — равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек,
а — равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными.
Кроме того, на материальные точки действуют и внешние неконсервативные силы; - равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек.

При массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:
……………………………………
Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные .

Умножим каждое из выше представленных уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что , получим:
…………………………………………….
Сложив эти уравнения, получим
(13.1)

Первый член левой части равенства (13.1)
где dT есть приращение кинетической энергии системы.
Второй член (13.1) равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).
Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему.

Таким образом, имеем
При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2
т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами.
(13.2)

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что
Откуда
т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной.
Выражение (13.3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.
(13.3)

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами.
Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так:
в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.
Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Существует еще один вид систем — диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии.
Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии.
Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.
В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной.

Закон сохранения и превращения энергии — фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микроскопических тел.
В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется.
В этих случаях закон сохранения механической энергии не выполняется.
Но при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида.
Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

§ 14. Графическое представление энергии
Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т.е. П=П(х).
График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой.
Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, согласно (12.7), П(h) = mgh. График данной зависимости П = П(h) — прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 15),
угол наклона которой
к оси h тем больше,
чем больше масса
тела (так как
tgα = mg).

Из приведенного графика можно найти скорость тела на высоте h:

Зависимость потенциальной энергии упругой деформации П = kx2/2 от деформации х имеет вид параболы (рис. 16), где график заданной полной энергии тела Е — прямая, параллельная оси абсцисс х, а значения Т и П определяются так же, как на рис. 15.

В общем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (рис. 17).

§ 15. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
Удар (или соударение) — это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.
К ударам, кроме столкновения атомов или биллиардных шаров, можно отнести удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. п.
При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь.
Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации.
Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами.
Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления ε :

Если для сталкивающихся тел ε = 0, то такие тела называются абсолютно неупругими,
если ε = 1—абсолютно упругими.
На практике для всех тел 0 < ε < 1 (например, для стальных шаров ε ≈ 0,56, для шаров из слоновой кости ε ≈ 0,89, для свинца ε ≈ 0).
Однако в некоторых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара.
Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс.
Мы рассмотрим только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.
Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.
Обозначим скорости шаров массами т1 и т2 до удара через и , после удара — через и (рис. 18).

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.
В этом случае законы сохранения имеют вид
Произведя соответствующие преобразования выражений (15.1) и (15.2), получим
(15.1)
(15.2)

(15.3)
разделив (15.4) на (15.3) получим:
Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим
(15.4)
(15.5)

(15.6)
Рассмотрим несколько конкретных примеров.
(15.7)

1) При
Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различных масс:
(15.8)
(15.9)

a) Если второй шар до удара висел неподвижно
( ) (рис.19), то после удара остановится первый шар ( ) (рис. 19), а второй будет двигаться с той же скоростью с которой двигался первый шар до удара ( );

б) . Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью . Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (рис. 20);

в) . Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью (рис. 21);

г) (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что
2) При выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид
т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).

Используя закон сохранения импульса, можно записать
Откуда
Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом.
В частном случае если массы шаров равны, то
(15.10)

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе.
Так как в процессе соударения шаров вследствие их деформации происходит «потеря» кинетической энергии (переход в тепловую и другие формы энергии). Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (15.10), получим
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно , то