Электромагнитные волны. Лекция 11

Мы знаем действия многих причин, но не знаем причин многих действий.
К. Колтон
Мысли философов – как звезды, они не дают света, потому что слишком возвышенны.
Ф. Бэкон
А.С. Чуев, 2020

Уравнение волны
Уравнение волны – математическое выражение, описывающее смещение колеблющейся частицы в виде функции, зависящей от координат и времени.
Для одномерного случая возможное общее решение:
А.С. Чуев, 2020

Гармоническая волна:
А.С. Чуев, 2020

Уравнение плоской гармонической волны:
Уравнение плоской одномерной гармонической волны:
Уравнение плоской одномерной затухающей гармонической волны:
Уравнение сферической гармонической волны:
А.С. Чуев, 2020

дважды продифференцировать по времени и координатам, то получим волновое уравнение второго порядка
- волновое число
- волновой вектор
Фазовая скорость
Если общее выражение
А.С. Чуев, 2020
В направлении распространения волны

Амплитуда волны на расстоянии l :
Плоская волна при х = 0
А.С. Чуев, 2020
где:
Можем записать
Уравнение плоской волны

- волновой вектор.
- волновое число.
А.С. Чуев, 2020
Далее - вывод волнового уравнения из уравнения волны
Обозначая
Получим
Тут
Общее выражение для уравнения волны

Продифференцируем функцию дважды по каждой переменной
А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

Для одномерной плоской волны волновое уравнение имеет вид:
А.С. Чуев, 2020
Запомнить:

А.С. Чуев, 2020

Вибратор Герца
Вибратор
R – разрядник;
Т - газоразрядная трубка;
D – дроссели.
Резонатор
Движущийся с ускорением электрический заряд испускает электромагнитные волны.
А.С. Чуев, 2020

Излучение диполя
А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

Диаграмма излучения диполя не сферическая!!!
А.С. Чуев, 2020

ФАР
А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

Уравнения Максвелла при отсутствии источников поля
первого уравнения
Электромагнитная волна
А.С. Чуев, 2020

Преобразуя векторное произведение в правой части последнего уравнения:
И использовав для rot Н, выражение из ур-ий Максвелла
получим:
В левой части:
В итоге:
А.С. Чуев, 2020
Вывод волнового уравнения из уравнений Максвелла
С учетом

Аналогичным путем можно получить
А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020
Второй вариант вывода волнового уравнения
дифференцируем по х
дифференцируем по t
Исключая из полученных уравнений смешанную производную, получаем:
Используя соотношение
получим
Аналогично можно получить волновое уравнение и для вектора Н.

где
– оператор Лапласа,
υ – фазовая скорость.
Другой вид волновых формул для электромагнитных волн
А.С. Чуев, 2020

Еще один вариант записи волновых уравнений для электромагнитных волн
А.С. Чуев, 2020

Уравнения Максвелла можно решить подстановкой:
где
и
обязаны удовлетворять уравнениям:
Там, где
и
равны нулю (в вакууме)
Верно общее уравнение:
В и Н тоже удовлетворяют этому общему уравнению.
А.С. Чуев, 2020

В любой момент времени отношение напряженности электрического поля к величине магнитной индукции в электромагнитной волне равно скорости света в вакууме
Соотношение Е и В в плоской электромагнитной волне
А.С. Чуев, 2020
Из условия синфазности векторов Е и В в волне

Скорость распространения электромагнитных волн в среде зависит от ее электрической и магнитной проницаемостей. Величину
абсолютным показателем преломления.
называют
и
Показатель преломления есть физическая величина, равная отношению скорости электромагнитных волн в вакууме к их скорости в среде.
А.С. Чуев, 2020

Изменения Е и Н синфазны!!!
Для плоской гармонической волны:
Электромагнитные волны – поперечные волны
А.С. Чуев, 2020

Соотношение Е/Н
Для вакуума
А.С. Чуев, 2020

Для Н будет аналогичная запись.
Бабочка Максвелла
А.С. Чуев, 2020

Уравнение встречной волны:
Результат наложения прямой и встречной волн:
А.С. Чуев, 2020

Схема образования стоячей волны
А.С. Чуев, 2020

Узлы и пучности стоячей волны
А.С. Чуев, 2020

С учетом,
Уравнение стоячей волны имеет вид:
Стоячие волны не переносят энергию !!!
А.С. Чуев, 2020

Изображение стоячей ЭМ волны
А.С. Чуев, 2020

Используя соотношения Е с Н, можно получить
А.С. Чуев, 2020

Квадрат косинуса = 1/2
Интенсивность:
В результате:
А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020
Вектор Пойнтинга направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
А.С. Чуев, 2020

Для сферической волны:
А.С. Чуев, 2020

Теорема Пойнтинга
Используя векторное тождество:
Из уравнений Максвелла можно получить:
Преобразуем левую часть:
и
Получим уравнение баланса ЭМ энергии, переносимой ЭМ волной:
А.С. Чуев, 2020

Это уравнение похоже на уравнение непрерывности:
Применяя формулу Гаусса-Остроградского уравнение баланса энергии можно выразить в интегральной форме:
- обозначена площадь.
- нормальная составляющая вектора Пойнтинга.
Это соотношение называют теоремой Умова-Пойнтинга.
А.С. Чуев, 2020
ρ
- объемная плотность электрического заряда.
где

А.С. Чуев, 2020
σ
- удельная проводимость

Импульс электромагнитной волны
Умножив числитель и знаменатель на скорость света, получим:
А.С. Чуев, 2020

Излучение диполя
А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

Далее
Факультативный материал
А.С. Чуев, 2020

Выражение полевых электромагнитных величин через «материальные»
А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020

А.С. Чуев, 2020