Электростатика вакуума и проводников

Электростатические явления
Эбонит + бумага (шерсть)
Стекло полу-
чает положи-
тельный заряд,
а шёлк – отрица-
тельный
Такой же эффект можно получить,
съехав с пластиковой горки
Струя воды отклоняется
наэлектризованным телом
Электроскоп
(электрометр)
кусочки бумаги
притягиваются к
натёртой палочке
Электричество – от
греческого слова
ἤλεκτρον, «янтарь»

Закон Кулона
4 формы закона Кулона
для точечных зарядов (или малого размера)
Сила, действующая со стороны точечного заряда q1 на точечный заряд q2
Отношение силы, действующей со сторо-ны точечного заряда q на пробный точеч-ный заряд, и величины пробного заряда (напряжённость электрического поля)
Потенциальная энергия взаимодействия между точечными зарядами q1 и q2
в СИ
в СГС (система Гаусса) k = 1
В СГС все формулы выглядят намного проще,
но пользуются сейчас только системой единиц СИ
Знать СГС всё равно надо, чтобы иметь возмож-
ность читать и понимать старые учебники.
Напоминаем:
F = - grad Eп =>
E = - grad φ
Отношение потенциальной энергии взаи-модействия между точечными зарядом q и пробным зарядом и величины пробного заряда (электрический потенциал)
Сила Куло-на на 40 (!) порядков больше гравитаци-онного при-тяжения

Определение [1]
Физическая энциклопедия в 5-ти томах.
Изд. «Советская энциклопедия», М., 1990 г.
Схема эксперимен-тальной установки Ш. Кулона

Отклонения от закона Кулона
Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике
На небольших расстояниях (порядка комптоновской длины волны электрона, λe= ћ/mec ≈3.86·10−13 м становятся существенными нелинейные эффекты квантовой электродинами-ки: на обмен виртуальными фотонами накладывается генерация виртуальных e-e+ (а также μ-μ+ и τ-τ+) пар, а также уменьшается влияние экранирования. Оба эффекта ведут к появле-нию экспоненциально убывающих членов в выражении для потенциальной энергии взаи-модействия зарядов и, как результат, к увеличению силы взаимодействия по сравнению с вычисляемой по закону Кулона.
Например, выражение для потенциала точечного заряда Q в системе СГС, с учётом ра-диационных поправок первого порядка принимает вид:
В сильных внешних электромагнитных полях, составляющих заметную долю от поля про-боя вакуума (порядка ~ 1018 В/м или ~ 109 Тл, такие поля наблюдаются, например, вблизи некоторых типов нейтронных звёзд, а именно магнитаров) закон Кулона также нарушается в силу дельбрюковского рассеяния обменных фотонов на фотонах внешнего поля и других, более сложных нелинейных эффектов. Это явление уменьшает кулоновскую силу не толь-ко в микро- но и в макромасштабах, в частности, в сильном магнитном поле кулоновский потенциал падает не обратно пропорционально расстоянию, а экспоненциально.
Эффект поляризации вакуума
эффективн. заряд электрона
классический радиус электрона re ≈ 2.8·10−13 см
Явление отклонения электростати-ческого потенциала точечных заря-дов в вакууме от значения закона Кулона известно как эффект Юлин-га, который впервые вычислил от-клонения от закона Кулона для атома водорода.
В сильном электромагнитном поле вблизи сверхтяжелых ядер с заря-дом Z > 170 осуществляется пере-стройка вакуума, аналогичная обыч-ному фазовому переходу. Это при-водит к поправкам к закону Кулона.
Таких ядер, слава Богу, не существует

Принцип суперпозиции (наложения)
q
q
q
q
Q
a
kq2/a2
kq2/a2
kq2/2a2
2kQq/a2
Силы, определяемые по закону Кулона, действующие на каждый из зарядов, необходимо затем векторно сложить.
Тогда, беря проекцию на диагональ квадрата, получим:
F = k/a2 ( 2 q2 cos 45º + q2/2 + 2Qq )
Эта сила может быть обнулена, если взять
Q =
Тогда все заряды будут находиться в
состоянии равновесия. Равновесие это не-устойчивое. Малейший сдвиг приведёт к тому, что отрицательный заряд соединит-ся с одним из положительных, образуя маленький положительный заряд, а остальные разлетятся на бесконечность. В этом состоит теорема Ирншоу
= 0,9571 q
Принцип суперпозиции работает не только в системах с зарядами, зафиксированными в определённых координатах, но и при вза-имодействии со средами со слабым линей-ным откликом
Расчёт электростатики проводников и диэлек-триков предполагает учёт наведённых поверх-ностных и объёмных связанных зарядов
Один маленький заряд
может удерживать в равновесии
заряд, значительно его превышающий.

Диполь, квадруполь и более сложные мультиполи [3]
P0 = 1 P1 = z P2 = ½ (3z2 - 1)
P3 = ½ (5z3 – 3z) P4 = 1/8 (35z4 - 30z2 + 3)
Полиномы Лежандра
получается наложением квадруполей – «+» вдоль «x» и «-» вдоль «y»
Дипольный момент
получается поворотом на 45º и сжатием в √2 раз
октуполь
Полный эллипти-ческий интеграл 1-го рода
Равномерно заряженное кольцо
Поле кольцевого электрода, силовые линии и их асимп-тоты, срез эквипотенциаль-ных поверхностей и напря- женность поля вдоль оси
Сила, дейст-
вующая на диполь, равна

Концепция силовых линий
Напряжённость электрического поля численно равна количеству силовых линий, проходящих через контур единичной площади.
Поток силовых линий через замкнутую поверхность вокруг заряда q равен
E ∙4πr2 = q/εo.
Силовые линии всегда начи-наются на положительных зарядах или приходят из бесконечности. Оканчива-ются они всегда на отрица-тельных зарядах или уходят в бесконечность. Эти свой-ства связаны с теоремой Ирншоу.
Концепция силовых линий помогает решить некоторые задачи, исходя из симметрии.
При решении задач о конфигурации электрического поля системы мы будем руководствоваться обобщённым принципом потока силовых линий, который иначе называется теоремой Остроградского-Гаусса

Определение [1]
Силовыми линиями неудобно пользоваться, если заряд рас-пределён в пространстве, т.к. в этом случае плотность си-ловых линий уже не будет определять величину поля.
По этой же причине также не-удобно пользоваться силовы-ми линиями для некулоновс-ких полей – поля осциллято-ра, и любой другой степенной зависимости кроме 1/r2.

Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
Силовые линии и эквипотенци-альные поверхности поля двух положительных зарядов. Как вы думаете, во сколько левый заряд больше правого? Что означает сгущение силовых линий на границе зон влияния зарядов?
Силовые линии магнитного поля токов, изображаемые железными опилками
Слева показаны сило-вые линии квадру-польного поля. Нари-суйте самостоятельно эквипотенциальные поверхности.
Любая силовая линия перпендикулярна любой экви-потенциальной поверхности в точке их пересечения
Нарисуйте эквипотен-циальные поверхности

Нахождение поля в простейших симметричных случаях
Поле плоскости, равно-мерно заряженной с плотностью поверхност- ного заряда σ
Поле равномерно заряженной сферы
Поле равномерно заряженной нити
с линейной плот-ностью заряда ϱ
Поле равномерно заряженного шара с объёмной плотностью ρ
внутри
то есть
снаружи
Нарисуйте график φ(r)

Дифференциальные уравнения электростатики [3]
Поток вектора через бесконечно малый куб
div A
div E = ρ/εo ∆φ = - ρ/εo
Оператор Лапласа ∆
Уравнение Пуассона
Уравнение Лапласа
Прочие законы электростатики
Закон сохранения заряда
Первое правило Кирхгофа
Уравнения непрерывности
интегральная дифференциальная формы
Потенциальность электрического поля
работа по переносу единичного заряда ра-вна разности потенциалов; работа по зам-кнутому контуру равна нулю
По теореме Стокса rot E = 0
Вместе с граничными условиями – задача Дирихле

Дискретность электрического заряда [7]
Задача Томсона
Схема эксперимента Милликена
Роберт Ми́лликен
Robert Andrews Millikan
1868 -1953 - американский физик В 1923 получил Нобелевскую премию по физике
Все заряды кратны элементарному
e = 1,602 176 6208(98)·10−19 Кл
Расположить N зарядов на поверхности сферы так, чтобы суммарная энергия была мини-мальна. Задача до сих пор ре- шена только для N = 2,3,4,6,8,12
Любой наблюдаемый в эксперименте электрический заряд всегда кратен одному элементарному — такое предположение было высказано Б. Франклином в 1752 году и в дальнейшем не-однократно проверялось экспериментально. Впервые элемен-тарный заряд был экспериментально измерен Милликеном в 1910 году.
Если в природе существует магнитный монополь, то, согласно квантовой механике, его магнитный заряд обязан находиться в определённом соотношении с электрическим зарядом любой выбранной элементарной частицы. Отсюда автоматически следует, что существование всего одного магнитного монополя влечёт за собой квантование всех электрических зарядов во Вселенной. Однако обнаружить в природе магнитный монополь не удалось.
Для N=12 оптимальным решением яв-ляется расположение зарядов в вершинах правильного додекаэдра

Называются так, потому что электрическое поле в основ-ном сконцентрировано внутри конденсатора
Плоский конденсатор
U = Ed
Сферический конденсатор
И в плоском, и в цилиндри-ческом конденсаторе важны краевые эффекты.
сферический конденсатор должен иметь дырку – т.е. в нём обязательно будут топологические нарушения
обозначение на электрических схемах
1/С = 1/С1 + 1/С2
Последовательное соединение
Параллельное соединение
С = С1 + С2
Во всех задачах на конденсаторы предполагается, что суммарный заряд на обкладках равен 0.
У всех конденсаторов на этой странице внутри вакуум
Конденсаторы

Определение [1]
В этой статье, взятой из физической энциклопедии, фигурирует абсолют-ная диэлектрическая проницаемость ε, которую мы обычно заменяем на εоε

Плотность энергии поля [5]
Задачи на нахождение ёмкости конденсатора
1
2
3
4
5
6
Работа по раздвижению обкладок конденсатора
Поле одной пластины
Сила между
пластинами F = EQ
A = Fd = ½ εo E2 V
W = ½ εo E2
Плотность энергии поля
Энергия поля заряда радиуса R
Если устремить R -> 0, энергия стремится к ∞
Энергия поля точечного заряда оказывается бесконеч-ной, а значит и энергия (и масса по формуле E=mc2) -тоже бесконечна. В теории поля проводят процедуру т.н. перенормировки, беря «затравочную» массу час-тицы отрицательно бесконечной.
Co = εoS/d
3/2 Co
2 Co
3/2 Co
3 Co
Co ln(2)
11/13

Персоналия – ещё немного о создателях науки
Фараде́й
Michael Faraday 1791 - 1867
Ирншоу
Samuel Earnshaw,
1805 - 1888
Острогра́дский
Михаилъ Васильевичъ
1801 - 1862
Ма́ксвелл
James Clerk Maxwell
1831 - 1879
Уи́льям То́мсон, лорд Ке́львин William Thomson,
1st Baron Kelvin;
1824 - 1907
Открыл
эл.-м. индукцию
законы электролиза
диамагнетизм
Изобрёл
электродвигатель
трансформатор
Предсказал
эл.-м. волны
Открыл
теорию эл.-м. волн
Ур-я Максвелла
кин. теория газов
Распред.Максвелла
эл.-м. природу света
трёхцветность природы света
Биограф Кавендиша
Священник –богослов и физик-теоретик. Доказал теорему Ирншоу
2-е начало термодинамики
Закон Томсона в термоэлектричестве
Электрические колебания
Критик теории эволюции
Математик
Открыл
метод интегрирования рац.функций
Доказал
Теорему Остроградского

Электростатика проводников [4]
Если внутри проводника есть эле-ктрическое поле, то в нём идёт ток. Если проводник изолирован, то рано или поздно свободные заряды либо кончатся, либо ском-пенсируют поле. Следовательно, в стационарном случае внутри проводника поле равно 0.
Поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Каждая точка проводника имеет одинаковый потенциал.
Экранирование металлической сеткой
Распределение зарядов по поверхности проводника заранее не известно
Заряды собираются на поверхности проводника

Метод изображений [2]
Снизу, под плоскостью, поля нет. Следовательно, энергия взаимодействия с проводни-ком, в 2 раза меньше, чем если бы заряд изображения был реальным. Можно ли из этого сделать вывод, что и сила притяжения в 2 раза меньше?
Изображение в угле см. дальше
Координата заря-да изображения
r’ = R2/r
Заряд равен
q‘ = - q R/r
Если шар не за-землён, то добав-ляется заряд про-тивоположного знака в центре
Задачу о двух проводящих заряженных сферах можно решать методом последовательных приближений. На правом рисунке эквипотенциаль-ные поверхности почти соответствуют поверхности сфер.
Здесь
R1=2, R2=1,
Q1 = - Q2
L = 5.
2-е прибли-жение даёт хороший результат
Слева – поле аппроксимируется точечными зарядами. Справа - добавляется по одному заряду изображения.
Линии вну-три сферы фиктивные
Задачу о сфере в
однородном поле
можно получить
из рассматриваемой предельным переходом r -> ∞ с q = r2E /k

Эллипсоидальные координаты
Эквипотенци-альные линии проводящего эллипсоида во внешнем поле
[2]

Метод конформного отображения [3]
Конформные отображения изменяют объём, но сохраняют все углы и формы в малых масштабах
Здесь приве-дён пример использова-ния одного из простейших конформных преобразова-ний. Теория комплексных функций ком-плексного переменного
(ТФКП) даёт возможность решать
уравнения Лапласа в двумерном случае анали-тически.
w = (z-2)-1
w = z2 + z
w = ez + z
Конформное преобразование может преобразовать квадрат в любую связную область

Метод конформного отображения
Мы находим поле плоского конденса-
тора, не зависящее от одной из
координат

Метод конформного отображения
Поле заряженного проводящего клина и угла получаются конформным степенным преобразова-нием поля плоскости (слева – без внешнего заряда, справа – с внешним зарядом)
Линии постоянной реальной части комплексного потен-циала Re ϕ – обычные эквипотенциали.
Линии постоянной мнимой части Im ϕ – силовые линии
Под точечным зарядом подразумевается равно-мерно заряженная нить параллельная оси клина

Метод конформного отображения
Ёмкость конденсатора, состоящего из двух некоаксиальных цилиндров

Ёмкость конденсатора, состоящего из двух некоаксиальных цилиндров
Аналогичная задача для двух сфер аналитически не решается

Сравнение методов и некоторые точные результаты
Метод изображений
Решение методом конформного отображения
Точное решение для ёмкости дискового плоского конденсатора (формула Кирхгофа):
Второй член (вернее, коэффициент под логарифмом) в этой формуле зависит от формы пластин.
Эта формула приведена в системе единиц СГС.
Для перевода в СИ надо умножить это выражение на 4πεo (в СГС 4πεo = 1)

Численные методы электростатики[8]
Метод конечных элементов для численного расчёта электростатического поля
Один из возможных контуров конечных элементов для цилиндра.
Поля цилиндра и диска. Метод находит экви-потенциали (т.е. поверхности с фиксированным значением φ)

Разные электрические поля
Молекулярные поля[13]
Электрическое поле человека[12]
На рисунке показан примерный ход эквипотенциалей в определённый момент возбуждения сердца. Цифры около пунктирных линий обозначают величину потенциала в милливольтах

Система единиц измерения СИ в электростатике и электродинамике

Литературные источники
Физическая энциклопедия в 5-ти томах. Под редакцией А.М. Прохорова. М, издательство «Советская энциклопедия», 1988 или Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия» 1998.
Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. «Теоретическая физика. т. VIII . Электродинамика сплошных сред». Издание второе, переработанное Лифшицем и Питаевским. М., «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1982.
Дж. Джексон (John David Jackson) «Классическая электродинамика». Перевод с англ. Г.В. Воскресенского и Л.С. Соловьёва. М., Мир,1965.
Д.В. Сивухин «Общий курс физики. т.3. Электричество». 4-е издание, стереот., М., ФизМатЛит, изд-во МФТИ, 2004.
И.В. Савельев. Курс общей физики, т.2 «Электричество и магнетизм, волны, оптика». М., «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1988.
А.Н. Матвеев. Курс физики, т.3 «Электричество и магнетизм». М., «Высшая школа», 1983.
Под ред. Г.С. Ландсберга «Элементарный учебник физики»: Т.2. Электричество и магнетизм. – 12-е изд. – М.: Физматлит, 2001 – 480 с.
К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. «Теоретические основы электротехники» в 3-х томах. – СПб.: Питер, 2003.

9. Персоналия
https://ru.wikipedia.org/wiki/Кулон,_Шарль_Огюстен_де
https://ru.wikipedia.org/wiki/Кавендиш,_Генри
https://ru.wikipedia.org/wiki/Грин,_Джордж_(математик)
https://ru.wikipedia.org/wiki/Пуассон,_Симеон_Дени
https://ru.wikipedia.org/wiki/Рис,_Петер
https://ru.wikipedia.org/wiki/Фарадей,_Майкл
10. Опыты: https://video.tochka.net/331232-klassnyy-prikol-s-sharikom-i-vodoy/
11. Электрометр: https://infourok.ru/material.html?mid=5255
12. Электрическое поле человека:
http://uhimik.ru/serdce--nasos-serdce--nasos/index.html
13. Поле молекул: К.В. Шайтан, К.Б. Терёшкина «Молекулярная динамика белков
и пептидов» Методическое пособие http://www.moldyn.ru/library/manual/p4.htm

Приложение [5]