Элементы квантовой статистики

Квантовая статистика –раздел физики, исследующий поведение многих частиц, подчиняющихся квантовым законам.

ПРИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Будем рассматривать многоэлектронные системы
Если частицы имеют одинаковые физические характеристики ( масса, заряд, спин, квантовые числа) , то они наз. ТОЖДЕСТВЕННЫМИ

В классической механике можно всегда отследить поведение частицы – ее траектория известна

В квантовой механике понятия траектории нет
Можно говорить только о вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

Если волновые функции двух частиц перекрываются, то решить вопрос, какая из двух частиц находится в данной области – невозможно.
В квантовой механике частицы теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

ПРИНЦИП неразличимости тождественных частиц
Невозможно экспериментально различить тождественные частицы

Если обозначить волновую функцию системы 2 электронов
Совокупность пространственных и спиновых
координат i частицы
Частицы поменялись местами

Из принципа неразличимости
Симметричная волновая функция
Антисимметричная волновая функция

Симметрия или антисимметрия определяется спином частиц
Частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и наз. ФЕРМИОНАМИ
Частицы с нулевым или целым спином( мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и наз. БОЗОНАМИ

Поведение фермионов описывается статистикой Ферми-Дирака
Поведение бозонов - статистикой Бозе -Эйнштейна

Обобщенный принцип Паули
Системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями.
Количество бозонов, находящихся в одинаковом состоянии не ограничивается

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ФЕРМИ-ДИРАКА
Вероятность обнаружения электрона с энергией Е при температуре Т
- Уровень Ферми (химический потенциал)
Уровень Ферми – максимальная энергия,
которую может иметь электрон при Т=0
k -постоянная Больцмана

При Т=0

При Т=0

Е
f(Е)
1
ЕF
Т=0
0.5
Т >0
kT
kT

1) Электроны заполняют нижние уровни в соответствие с принципом Паули
2) При Т=0 максимально возможная энергия электрона – это энергия Ферми
Распределение Больцмана

Электронный газ называется вырожденным
и подчиняется статистике Ферми-Дирака
Электронный газ называется невырожденным
и подчиняется статистике Больцмана

Статистика Бозе-Эйнштейна
EB – химический потенциал системы бозонов

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Металлы,диэлектрики,
полупроводники
В твердом теле при сближении атомов отдельные уровни расщепляются и объединяются в зоны

Изолированный атом

2 атома лития

Е
r
1s
2s
2p
3s

Образуются разрешенные области энергии
В разрешенной зоне столько дискретных уровней ,сколько их содержится во всех изолированных атомах
Разрешенные зоны разделены промежутками энергии – запрещенными зонами

Металлы,диэлектрики,
полуроводники
1) Существуют либо полностью заполненные, либо полностью свободные зоны
∆E
∆E-ширина запрещенной зоны
между последней полностью
заполненной и следующей
свободной зоной

Если ∆E < 3 эВ , то такие вещества называются полупроводниками
Электрону может хватить тепловой энергии, чтобы перейти из одной зоны в другую
Если ∆E >5 эВ то такие вещества называются диэлектриками

2) Верхняя зона заполнена частично
3)Полностью заполненная зона перекрывается со следующей свободной

Такие вещества называются металлами

Собственные и примесные полупроводники
Собственный полупровдник, когда в нем отсутствуют примеси
Eс
Валентная зона
Ev
зона проводимости
∆Е – запрещенная зона

Примесный полупроводники – в кристаллической решетки встречаются атомы посторонней примеси

Донорные полупроводники
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
P
Si – 4 валентный
P– 5 валентный, один
валентный электрон
остается свободным и
может переходить от
одного атома к другому

Eс
Ev
∆Е
Ed
В запрещенной зоне вблизи дна
зоны проводимости появляется
примесный донорный уровень

Акцепторные полупроводники
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
в
Si – 4 валентный
В– 3 валентный, одна
валентная связь остается
незаполненной, Si может
отдать один электрон В,
а на его место придет
электрон от другого атома
Пустое место (дырка) может перемещаться по решетке

Ec
Ev
∆Е
Eа
В запрещенной зоне вблизи потолка
валентной зоны появляется
примесный акцепторный уровень

Движение электрона в кристалле
В кристалле на электрон действует поле кристаллической решетки
Поведение электронов в кристалле похоже на поведение свободных электронов
Их называют квазисвободными

Эффективная масса электрона
Эффективная масса учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решеткой и позволяет описывать его движение теми же уравнениями, что и свободный электрон
k - Волновой вектор