Lektsia_StRT_2 (1)

Автокорреляционная (корреляционная) функция случайного процесса определяется через двумерную плотность вероятности:
t2
t1
x(t)
x1 = x(t1)
x2 = x(t2)

Корреляционная функция стационарного случайного процесса:
Нормированная корреляционная функция
1. Rx(–τ) = Rx(τ).
2. Rx(0) = σ2.
3. Rx(τ) ≤ Rx(0).
Для стационарного случайного процесса
τ = t2 − t1
Свойства корреляционной функции стационарного СП

Время (интервал) корреляции стационарного случайного процесса
σ2
σ2
σ2

Корреляционная функция гармонического сигнала
со случайной равномерно распределенной фазой

Корреляционная функция гармонического сигнала
со случайной равномерно распределенной фазой

τ = t2 − t1
x(t)
t2=t1+T
t1
t2=t1+T/2
T/2

Взаимная корреляционная функция
Характеризует корреляционную связь двух случайных процессов:
x1 = x(t1), y2 = y(t2)
Cлучайные процессы x(t) и y(t) называют стационарно связанными, если взаимно корреляционная функция зависит только от разности
τ = t2 − t1

Если случайные процессы x(t) и y(t) независимы, то взаимно корреляционная функция равна нулю при любых значениях аргументов

Экспериментальное определение корреляционной функции эргодического случайного процесса

Спектральная плотность мощности
(спектр мощности, энергетический спектр) эргодического случайного процесса с
Энергия реализации
Средняя мощность реализации
Совершим предельный переход (проведем усреднение по реализациям)
Спектральная плотность мощности случайного процесса

Свойства энергетического спектра
1. W(ω) ≥ 0
3. W(–ω) = W(ω)
2. Теорема Винера - Хинчина
4. Связь СПМ и дисперсии случайного процесса

Односторонний спектр мощности (энергетический спектр)
Эффективная ширина спектра

Физический смысл одностороннего спектра мощности (энергетического спектра)

Примеры случайных процессов
Белый шум
R(τ) = W0 δ(τ)
W(ω) = W0

Белый шум с ограниченным спектром

Шум с равномерным спектром
в полосе частот от ω1 до ω2

Источники шумов в радиотехнических устройствах
Тепловой шум
формула Найквиста
k = 1,38⋅10 –23 Дж/град — постоянная Больцмана,
Т — абсолютная температура, в градусах Кельвина,
R — сопротивление проводника, Ом.
Дисперсия в полосе частот
Пример: дисперсия теплового шума, создаваемого резистором
R = 1 кОм в полосе частот Δf = 1 МГц при комнатной температуре:
Uэфф = σ = 4⋅10 –6 В = 4 мкВ.

Дробовой шум
Каждый электрон при движении создает короткий импульс тока, а все вместе – случайную последовательность импульсов.
Количество импульсов тока за произвольное время наблюдения T подчиняется закону распределения Пуассона:
ν – среднее число импульсов за 1 с
Средний ток (постоянная составляющая тока) равен i0 = νe
Для закона Пуассона
Фактическое значение тока за время T равно
.
Дисперсия тока равна:
e = 1,6·10-19 Кл — заряд электрона,
Т – время усреднения тока

Спектр мощности дробового шума
Предположим для определенности, что импульс тока, создаваемый одним пролетающим электроном, имеет прямоугольную форму
Энергетический спектр одного импульса
формула Шотки
Ти ~ 10–9 с

Пример: дисперсия дробового шума диода в режиме насыщения при токе i0 = 100 мА и полосе частот 1 МГц:
Эффективное значение шумового тока σi = 1,79⋅10–7 ≈ 0,18 мкА.
При сопротивлении нагрузки 1 кОм эффективное значение напряжения будет равным Uэфф = 1,79⋅10–4 В = 179 мкВ