Лекция 09. Центр тяжести

1. Пространственная система параллельных сил
Центр тяжести
1.2. Центр системы параллельных сил
A
B
C
α
α
*
*
A1
C1
A
B
C
α
α
*
*
α
*
При повороте любой системы параллельных сил вокруг их точек приложения на одинаковый угол равнодействующая так же поворачивается вокруг своей точки приложения на тот же угол.
На линии действия равнодействующей имеется точка, вокруг которой она поворачивается при повороте системы параллельных сил. Эта точка называется – центр системы параллельных сил.

1. Пространственная система параллельных сил
Центр тяжести
1.2. Центр системы параллельных сил
Определение координат центра системы параллельных сил:
O
x
y
z
С
A1
A2
An
По теореме Вариньона:
Координаты центра
системы параллельных сил:
̶ статические моменты системы относительно плоскостей yOz, xOz и xOy.

O
x
y
z
2. Центр тяжести тел
Центр тяжести
2.1. Определение центра тяжести тел
Δv1
Δv2
Δvi
Δvn
C
Для определения центра тяжести однородной поверхности:
Для определения центра тяжести однородной линии:

2. Центр тяжести тел
Центр тяжести
2.2. Центр тяжести симметричных тел
Если однородное тело имеет плоскость геометрической симметрии, то центр тяжести тела находится в этой плоскости.
Если однородное тело имеет ось геометрической симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Если однородное тело имеет точку геометрической симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

2. Центр тяжести тел
Центр тяжести
2.3. Метод разбиения тела на части
С1
O
x
y
z
С2
С3
С4
Положение центра тяжести можно определить, если разбить тело на части, координаты центров тяжести которых заранее известны.

2. Центр тяжести тел
Центр тяжести
2.4. Метод отрицательных масс
O
x
y
z
Рассмотрим тело, имеющее пустые полости.
Центр тяжести массы, которая могла бы занимать полость обозначим как С2 , ее объем – V2 .
С2
Центр тяжести полностью заполненного тела (без полости) обозначим как С1 , его объем – V1 .
С1
Центр тяжести тела с полостью (исходного) обозначим как С, его объем – V .
С

2. Центр тяжести тел
Центр тяжести
2.5. Центры тяжести простейших тел
2.5.1. Треугольник
C
A
B
D
E
F
Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан.
Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2/1, считая от соответствующей вершины. Следовательно, от каждого основания центр тяжести находится на расстоянии 1/3 соответствующей высоты треугольника.
h
h/3
Имея координаты вершин треугольника А(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB) и V(xD,yD,zD), можно вычислить координаты его центра тяжести по формулам:
O
x
y
Способ не подходит для вычисления центра тяжести треугольника, масса которого распределена по периметру. В этом случае необходимо рассматривать трехточечную систему, точки которой расположены в серединах сторон и имеют массу соответствующих сторон.

2. Центр тяжести тел
Центр тяжести
R
α
α
A
B
O
Ось симметрии
x
y
С
xC
θ
dθ
dl
Рассмотрим однородную дугу окружности длиной l, радиусом R и центральным углом 2α.
Центр тяжести находится на оси симметрии, с которой совместим ось Оx. Требуется найти только координату xC центра тяжести дуги окружности.
Статический момент дуги относительно оси Oy:
В полярных координатах:
Для половины окружности:
2.5. Центры тяжести простейших тел
2.5.2. Дуга окружности

2. Центр тяжести тел
Центр тяжести
Рассмотрим однородный круговой сектор радиусом R и с центральным углом 2α.
A
B
R
O
α
α
Разобьем круговой сектор на элементарные одинаковые секторы.
Сi
2/3R
С
xC
Центр тяжести каждого элементарного треугольника отстоит от его вершины на 2/3 его высоты (здесь – радиуса R).
Через центры тяжести элементарных треугольников можно провести дугу радиуса 2/3R.
Центр тяжести сектора будет совпадать с центром тяжести этой дуги и его положение вычисляется по формуле:
2.5. Центры тяжести простейших тел
2.5.3. Круговой сектор
x

2. Центр тяжести тел
Центр тяжести
Определим центр тяжести конуса, имеющего ось симметрии АО. Высота конуса – h, площадь основания конуса – σ, объем конуса – V.
2.5. Центры тяжести простейших тел
2.5.4. Объем конуса
А
О
x
y
z
h
С
Центр тяжести конуса лежит на оси симметрии, с которой совмещена ось Оz .
σ*
z
dz
где σ* – площадь сечения конуса с координатой z .

3. Примеры решения задач
Центр тяжести
3.1. Пример 1
Найти центр тяжести поперечного сечения плотины, показанного на рисунке, принимая, что удельный вес бетона – ρбет=24 кН/м3, а земляного грунта – ρзем=16 кН/м3.
Применяя метод отрицательных площадей, представим фигуру состоящей и четырех частей:
– треугольника АВO ;
A
B
O
– прямоугольника CDEF ;
D
E
F
– треугольника FEJ ;
J
– прямоугольника FGHI (пустота);
G
H
I
Поскольку прямоугольник FGHI дополняет заданную фигуру, а не является ее частью, то в дальнейших расчетах его площадь учитывается со знаком «минус».
x
y
Координаты XC и YC центра тяжести плоской фигуры определим по формулам:

3. Примеры решения задач
Центр тяжести
3.1. Пример 1
Найти центр тяжести поперечного сечения плотины, показанного на рисунке, принимая, что удельный вес бетона – ρбет=24 кН/м3, а земляного грунта – ρзем=16 кН/м3.
A
B
O
D
E
F
J
G
H
I
x
y
ABO:
ODEF:
FGHI:
FEJ:
C1
x1
y1
C2
x2
y2
C3
x3
y3
C4
x4
y4
xC
yC
C

3. Примеры решения задач
Центр тяжести
3.2. Пример 2
Дан квадрат ABDE, сторона которого равна а. Найти внутри него такую точку С, чтобы она была центром тяжести площади, которая получится, если из квадрата вырезать равнобедренный треугольник АСВ.
C
x
y
h
ABDE:
ABC:
C1
C2
y1
y2

3. Примеры решения задач
Центр тяжести
3.3. Пример 3
Найти координаты центра тяжести тела, имеющего вид стула, состоящего из стержней одинакового веса и длины. Длина стержня – 44 см.
O
y
x
z
44
0
-22
x1=44
z1=-22
0
0
z2=-22
-22
0
y3=44
44
z3=-22
-22
x4=44
44
y4=44
44
z4=-22
-22
x5=44
44
y5=22
22
0
x6=22
22
y6=44
44
0
0
y7=22
22
0
x8=22
22
0
0
x9=44
44
z9=22
0
22
x10=22
22
0
z10=44
44
0
0
z11=22
22

3. Примеры решения задач
Центр тяжести
3.4. Пример 4
Определить положение центра тяжести С плоской фигуры, ограниченной полуокружностью ADB радиуса R и двумя прямыми равной длины AЕ и ВЕ, причем DE=3R.
A
B
D
E
О
x
y
Т.к. фигура симметрична относительно оси Ox.
Треугольник АВЕ:
C1
C2
Полукруг АDB:
C