Lk_02_PP_Klassicheskiy_metod_Tabl

ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ

Переходным называется процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому.

При коммутации в эл. цепи возникают переходные процессы, т.е. процессы перехода тока (или напряжения) от одного установившегося режима работы эл. цепи к другому режиму работы эл. цепи.
Изменение токов и напряжений вызывают одновременное изменение энергии электрического поля WЭ, связанного с элементами эл. цепи – ёмкостью, и магнитного поля WM, связанного с элементами эл. цепи – индуктивностью.

Энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как скачко- образное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом основаны законы коммутации.

ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
Первый закон коммутации:
В любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации.

ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
Первый закон коммутации:

Первый закон коммутации (обозначения):

Второй закон коммутации:

Второй закон коммутации (обозначения):
uC(0+) - напряжение на емкости в момент коммутации;
uC(0-) - напряжение на емкости непосредственно перед моментом коммутации.

Допущения, применяемые при анализе ПП
1. Полагают, что ПП длится бесконечно большое время.
2. Считается, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги.
3. Принимают, что к моменту коммутации предыдущие ПП в цепи закончились.

Методы анализа переходных процессов в линейных цепях:
1. Классический метод
2. Операторный метод
3. Частотный метод
4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля
5. Метод переменных состояния цепи

1. Классический метод расчета переходных процессов
заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

2. Операторный метод расчета переходных процессов
заключается в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.

3. Частотный метод расчета переходных процессов
основанный на преобразовании Фурье. Он находит широкое применение при решении задач синтеза.

4. Метод расчета переходных процессов с помощью итеграла Дюамеля,
используется при сложной форме кривой возмущающего воздействия.

5. Метод переменных состояния,
представляет собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

1. Классический метод расчета переходных процессов
заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.
Классический метод расчета

Классический метод расчета
Алгоритм:
Общий случай при использовании этого метода:
1. Составляется уравнение электромагнитного состояния электрической цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, которые связаны между собой (на отдельных элементах цепи) соотношениями:

Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи
Элемент цепи: резистор (идеальное активное сопротивление):
Элемент цепи: катушка индуктивности (идеальная индуктивность):

Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи
Катушка индуктивности при наличии
магнитной связи с катушкой,
обтекаемой током iM :

Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи
Элемент цепи: конденсатор (идеальная емкость):

Рассмотрим пример (общее решение):

Последовательная электрическая цепь содержит:
- резистор R,
- катушку индуктивности L,
- конденсатор С,
- источник напряжения u.
Пример_01:

Пример_01:

Пример_01:

…в итоге получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно uC (t):
Пример_01:

ИТОГ примера_01:
Вывод уравнения САМОСТОЯТЕЛЬНО !

Переходный процесс

Методы расчета переходных процессов
1. Классический метод
1.1. Составляется система дифференциальных уравнений эл. цепи с использованием законов Кирхгофа и Ома.
Кроме этого, используются уравнения для отдельных элементов цепи:

1. Классический метод
1.2. Полученную систему уравнений, путем замены переменных, сводят к дифференциальному уравнению n-го порядка относительно искомой величины.
В качестве искомой величины используют одну из переменных состояния: это ток в любой индуктивности или напряжение на одной из емкостей.

1. Классический метод
1.3. Общее решение полученного линейного дифференциального уравнения ищут в виде суммы двух выражений:
ИЛИ

1. Классический метод
ИЛИ
– соответствуют общим решениям, без независимых источников энергии.
– соответствуют частным решениям неоднородных уравнений, с независимыми источниками энергии (принужденные составляющие).

1. Классический метод
ИЛИ

1. Классический метод
ИЛИ
– корни соответствующих характеристических уравнений цепи, которые получают из диф. уравнений путем замены производных операторами

1. Здесь ми имеем относительно простую схему 1-го порядка. Так говорят, если в схеме только одна катушка, или только один конденсатор.

2. Дано: E, R, L. Требуется найти закон изменения тока i(t) в общем виде классическим методом, т.е. в общем виде:

2. Дано: E, R, L. Требуется найти закон изменения тока i(t) в общем виде классическим методом, т.е. в общем виде:

1 шаг: Произведем расчет эл. цепи до коммутации, т.е в момент t (0– ).
– ключ «k» открыт,
– в цепи при этом имеется два последовательных резистора R и ЭДС.

1 шаг: катушку в схеме замещения можно представить замкнутым проводником на ее полюсах.

1 шаг: До коммутации в момент времени t (0– ),
Схема замещения: в t (0_ )

2 шаг: В момент t (0+ ), подсчитаем ток через катушку индуктивности.
Схема замещения: в t (0+ )

В соответствии с классическим методом расчета, ПЕРЕХОДНОЙ ток в ветви схемы представляют в виде суммы ПРИНУЖДЕННОГО и СВОБОДНОГО токов.

принужденный ток, определяется в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешними источниками питания.

свободный ток, определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний источник питания. Свободный ток создается внутренними источниками питания: ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости.

3 шаг: Расчитывается схема установившегося режима, после коммутации:

3 шаг: Установившийся режим:
- ключ замкнут: в цепи один резистор, второй замкнут; катушка накоротко замкнута.

3 шаг: В установившимся режиме
ток на ветви катушки называется принудительным:

4 шаг: Составим характеристическое уравнение и найдем корень p этого уравнения. Для этого отключим источник напряжения и найдем полное сопротивление цепи.
В таком режиме сопротивление индуктивности записывают в следующем виде:
p – корень харак. ур-ния

где p – корень характеристического уравнения
Тогда полное сопротивление цепи:

Индуктивность в 1 Гн – это если изменение тока в 1 А/с создает ЭДС индукции 1 В

5 шаг: Запишем выражение для свободной составляющей тока:
Здесь А – постоянная интегрирования

Найдем постоянную интегрирования А в момент времени t (0+)
Выражение для полного решения ищут в виде:
– принужденное состояние тока
– свободный ток

Выражение для полного решения ищут в виде:
Найдем постоянную интегрирования А в момент времени t (0+)

Выражение для полного решения ищут в виде:
В окончательном виде, решения для тока, как функции времени, запишется так:
В итоге, найден закон изменения тока (в схеме с индуктивностью) классическим методом!

Построим график зависимости тока от времени:
– до коммутвции в момент t (0– ) ток равнялся 5А,
– после коммутации, в установившемся режиме ток равнялся 10А,
– от 5А, после коммутации ток экспотенциально возрастает до 10А за время (по некоторым сведениям за (t = 5τ) с

t, c
i, A
t = 1τ
t = 2τ
t = 5τ

II ЧАСТЬ: Найдем напряжение на катушке:

II ЧАСТЬ: Найдем напряжение на катушке:

Напряжение на катушке: