Появление хаоса в детерминированных системах

ЛОГИСТИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНРОСТЬ БИФУРКАЦИЙ. СЦЕНАРИЙ ФЕЙГЕНБАУМА

Области порядка

ВОЗВРАЩЕНИЕ ПУАНКАРЕ
хаос
Область
порядка
порядок

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ШУМЫ

Случайный сигнал
Случайный сигнал с периодическими компонентами
СПЕКТРЫ ФУРЬЕ

ШУМЫ

СТЕПЕННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРИРОДЕ

МЕХАНИЗМЫ ПОЯВЛЕНИЯ
СТЕПЕННЫХ ЗАКОНОВ
1. Связь двух экспоненциальных процессов
2. Случайные блуждания
3. Процесс Юла
Богатый – еще богаче, большой – еще больше.
Положительные обратные связи ⇒
степенное распределение.

МЕХАНИЗМЫ ПОЯВЛЕНИЯ
СТЕПЕННЫХ ЗАКОНОВ
4. Пороговые явления в перколяции.
Решетка размера N×N.
Вероятность окрашивания клетки – p.
Средний размер кластера –
.

МЕХАНИЗМЫ ПОЯВЛЕНИЯ
СТЕПЕННЫХ ЗАКОНОВ
5. Самоорганизующаяся критичность.
Рост деревьев VS. пожары.
Самоподдержание вблизи критической точки.

ПРИМЕРЫ БАЛАНСИРОВАНИЯ
НА ГРАНИЦЕ «ХАОС – ПОРЯДОК»

ПЕРЕХОД К ДЕТЕРМИНИРОВАННОМУ ХАОСУ

РАСХОЖДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ В ПРЕДЕЛАХ СТРАННОГО АТТРАКТОРА
dx/dt = σy – σx
dy/dt = rx – y –xz
dz/dt = xy - bz
При r < 1 одна устойч.
точка в 0
28< ≈ r < ≈ 148,4 стр.аттр.
r > 148,4 предельный цикл

АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ПРИ МЕХАНОЭМИССИИ КРОВИ

Лавина нервных спайков

ФРАКТАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ О2 И СО2 В КУЛЬТУРАХ ДРОЖЖЕЙ (AON et al. 2008)

Частота встречаемости пятен
определенного размера
16 ч
25ч
45 ч
В ходе регенерации гидры паттерны экспрессии головного гена ks1
проходят через состояние самоорганизованной критичности

ФРАКТАЛЫ

-сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, т.е. составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целом.
Fractus, лат. «дробленный»«сломанный».

Применение

Бенуа Мандельброт (1980)
С. Кранц: Р. Брукс, Дж. Мателски (1978)
Дж. Хаббард (1976)- Ф.Кочмен
Ф. Рисс (1952)
Хаббард
Мателски
Брукс
Пьер Фату (1906)
Людвиг Прандтль (1904)
Лоренц
Пьер Симон Лаплас
Гельмгольц
Кирхгофф
Рэлей
Ляв
Лэмб
Бассет
«Интегрирование встречается и у Архимеда, дифференцирование у Паскаля и Ферма, связь между обеими была известна Барроу. Ньютон изобрел ряды Тейлора-основное орудие анализа».
В.И. Арнольд
Историческая справка

20.11.1924 – 14.10.2010
С/х
Химия
Математика
Медицина
Физика
Искусство
Мать: Белла Лурие
Отец: Карл Мандельброт
Дядя: Шолем М.
Бенуа Мандельброт

«Природа демонстрирует совсем другой уровень сложности» Мандельброт Б., «Фрактальная геометрия природы», 1975 год.
?

1) нетривиальная структура на всех масшатабах, повышение масштаба для фрактальных фигур не ведет к упрощению структуры;
2) является самоподобной или приближенно самоподобной;
3) обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Необходимые условия для фрактальной фигуры:

1) задать произвольную ломаную с конечным числом звеньев;
2) заменить в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору);
3) в получившейся ломаной вновь заменить каждый отрезок генератором.
Пример получения фрактальных кривых на плоскости

Мера Минковского

-множество точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность.
Фрактал - это
Под микроскопом он открыл, что на блохе
Живёт блоху кусающая блошка;
На блошке той блошинка-крошка,
В блошинку же вонзает зуб сердито
Блошиночка, и так ad infinitum.
(Джонатан Свифт)