Содержание
- 2. Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 2.1. Силовые линии электростатического поля 2.2. Поток вектора напряженности 2.3. Теорема Остроградского-Гаусса
- 3. 2.1. Силовые линии электростатического поля Теорема Остроградского-Гаусса, которую мы докажем и обсудим позже, устанавливает связь между
- 4. Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1862) отечественный математик и механик. Учился в Харьковском ун-те (1816 –
- 5. Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик, астроном и физик. Исследования посвящены многим разделам физики.
- 6. Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и
- 7. силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора
- 8. Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. Однородное
- 9. В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят в бесконечность; и из
- 10. Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному
- 12. Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их
- 13. если на рисунке выделить площадку то напряженность изображенного поля будет равна
- 14. 2.2. Поток вектора напряженности Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности
- 15. Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как
- 16. Для первого рисунка – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е. Поверхность
- 17. 2.3. Теорема Остроградского-Гаусса Итак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих
- 18. поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен: Т.е. в однородном поле В произвольном
- 19. Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q . Окружим заряд q
- 20. Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. В каждой точке поверхности S1
- 21. Тогда поток через S1
- 22. Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:
- 23. Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же
- 24. Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: – теорема Гаусса для нескольких зарядов. Поток
- 25. Полный поток проходящий через S3, не охватывающую заряд q, равен нулю:
- 26. Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен: –
- 27. Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства: Здесь dV
- 28. Суммарный заряд объема dV будет равен: Тогда из теоремы Гаусса можно получить: – это ещё одна
- 29. 2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса Пусть заряд распределен в пространстве ΔV, с объемной плотностью . Тогда
- 30. Теперь устремим , стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом будет стремиться к
- 31. Дивергенция поля Е . (2.4.1) Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из этого определения следует,
- 32. Итак, (2.4.3) Это теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальный
- 33. Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной
- 34. В тех точках поля, где – (положительные заряды) источники поля, где – стоки (отрицательные заряды). Линии
- 35. 2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
- 36. Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле: dq – заряд, сосредоточенный на
- 37. Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости Тогда
- 38. Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равна: Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы
- 39. 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по
- 40. Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри
- 41. Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке:
- 42. Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): т.е. Механические силы, действующие между
- 43. Сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. Это формула для расчета
- 44. 2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с
- 45. Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания
- 46. Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r. Следовательно, поток вектора через рассматриваемую
- 47. При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса Тогда Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов
- 48. Графически распределение напряженности электростатического поля цилиндра показано на рис
- 49. 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком
- 50. Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать В зазоре между цилиндрами, поле определяется так
- 51. Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами
- 52. 2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара
- 53. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис).
- 54. Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда откуда поле вне
- 55. Как видно, вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.
- 56. 2.5.6. Поле объемного заряженного шара Для поля вне шара радиусом R получается тот же результат, что
- 57. Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный где ρ – объемная плотность
- 58. Т.е. внутри шара Т.е., внутри шара имеем
- 59. Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара
- 61. Скачать презентацию