Презентация на тему Электростатика Лекция

Содержание

Слайд 2

Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

2.1. Силовые линии электростатического поля
2.2. Поток вектора напряженности
2.3. Теорема

Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 2.1. Силовые линии электростатического поля 2.2. Поток вектора
Остроградского-Гаусса
2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса
2.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса
2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей
2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)
2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком
2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара
2.5.6. Поле объемного заряженного шара

Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

2.1. Силовые линии электростатического поля
2.2. Поток вектора напряженности
2.3. Теорема Остроградского-Гаусса
2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса
2.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского - Гаусса
2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей
2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)
2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком
2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара
2.5.6. Поле объемного заряженного шара

Слайд 3

2.1. Силовые линии электростатического поля

Теорема Остроградского-Гаусса, которую мы докажем и обсудим позже,

2.1. Силовые линии электростатического поля Теорема Остроградского-Гаусса, которую мы докажем и обсудим
устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона.

Слайд 4

Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1862)
отечественный математик и механик. Учился в

Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1862) отечественный математик и механик. Учился в
Харьковском ун-те (1816 – 1820), совершенствовал знания в Париже (1822 – 1827).
Основные работы в области математического анализа, математической физики, теоретической механики. Решил ряд важных задач гидродинамики, теории теплоты, упругости, баллистики, электростатики, в частности задачу распространения волн на поверхности жидкости (1826 г.). Получил дифференциальное уравнение распространения тепла в твердых телах и жидкостях. Известен тео­ремой Остроградского-Гаусса в электро­статике (1828 г.).

Слайд 5

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик, астроном и физик.
Исследования посвящены

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик, астроном и физик. Исследования
многим разделам физики.
В 1832 г. создал абсолютную систему мер (СГС), введя три основных единицы: единицу времени – 1 с, единицу длины – 1 мм, единицу массы – 1 мг.
В 1833 г. совмест­но с В. Вебером построил первый в Герма­нии электромагнитный телеграф.
Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной скорости распростране­ния электромагнитных взаимодействий. Изу­чал земной магнетизм, изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр, в 1838 г. – бифилярный. В 1829 г.
Сформулировал принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса).
Один из первых высказал в 1818 г. предположение о возможности существования неевклидовой геометрии.

Слайд 6

Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять

Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять
природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядом и полем.

Слайд 7

силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля

силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля
совпадает с направлением вектора напряженности

Слайд 8

Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине

Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине
и направлению, т.е. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга

Слайд 9

В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят

В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят
в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд.
Т.к.

то густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда

Слайд 10

Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к

Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному
отрицательному

Слайд 12

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору
напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.

Слайд 13

если на рисунке выделить площадку то напряженность изображенного поля будет равна

если на рисунке выделить площадку то напряженность изображенного поля будет равна

Слайд 14

2.2. Поток вектора напряженности

Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется

2.2. Поток вектора напряженности Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S
потоком вектора напряженности Ф через эту поверхность
В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .

Слайд 15

Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла

Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла
α может быть как положительным, так и отрицательным.

Слайд 16

Для первого рисунка – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесь

Для первого рисунка – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесь
направлен наружу, т.е.

Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь.


Общий поток через поверхность А равен нулю.
Опишите второй рисунок самостоятельно.

Слайд 17

2.3. Теорема Остроградского-Гаусса

Итак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен числу

2.3. Теорема Остроградского-Гаусса Итак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен
линий напряженности, пересекающих поверхность S.

Слайд 18

поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен:
Т.е. в однородном

поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен: Т.е. в
поле
В произвольном электрическом поле

Слайд 19

Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q

Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q
. Окружим заряд q сферой S1.

Слайд 20

Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1.
В

Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. В
каждой точке поверхности S1 проекция Е на направление внешней нормали одинакова и равна

Слайд 21

Тогда поток через S1

Тогда поток через S1

Слайд 22

Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:

Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:

Слайд 23

Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S

Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S
будет равен этой же величине:
– теорема Гаусса для одного заряда.

Слайд 24

Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности:
– теорема Гаусса для

Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: – теорема Гаусса
нескольких зарядов.
Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0.

Слайд 25

Полный поток проходящий через S3, не охватывающую заряд q, равен нулю:

Полный поток проходящий через S3, не охватывающую заряд q, равен нулю:

Слайд 26

Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность

Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность
S будет равен:
– если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;
– если заряд расположен вне замкнутой поверхности;
этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.

Слайд 27

Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных

Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных
местах пространства:
Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под которым следует понимать такой объем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементар-ных зарядов электрона или протона .

Слайд 28

Суммарный заряд объема dV будет равен:
Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
– это

Суммарный заряд объема dV будет равен: Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
ещё одна форма записи теоремы Остроградского-Гаусса, если заряд неравномерно распределен по объему.

Слайд 29

2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

Пусть заряд распределен в пространстве ΔV, с объемной

2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса Пусть заряд распределен в пространстве ΔV, с объемной плотностью . Тогда
плотностью . Тогда

Слайд 30

Теперь устремим , стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при

Теперь устремим , стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при
этом будет стремиться к ρ в данной точке, т.е.
Величину, являющуюся пределом отношения к ΔV, при , называют дивергенцией поля Е и обозначается .

Слайд 31

Дивергенция поля Е
. (2.4.1)
Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля.
Из этого

Дивергенция поля Е . (2.4.1) Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля.
определения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат.
В декартовой системе координат

Слайд 32

Итак,
(2.4.3)
Это теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме.
Написание многих формул упрощается, если

Итак, (2.4.3) Это теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Написание многих формул упрощается,
ввести векторный дифференциальный оператор (Набла)
где i, j, k – орты осей (единичные векторы).

Слайд 33

Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании

Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании
с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается:
дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса.

Слайд 34

В тех точках поля, где – (положительные заряды) источники поля,
где –

В тех точках поля, где – (положительные заряды) источники поля, где –
стоки (отрицательные заряды).
Линии выходят из источников и заканчиваются в стоках.

Слайд 35

2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной

2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
плоскости

Слайд 36

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:
dq –

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле: dq
заряд, сосредоточенный на площади dS;
dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

Слайд 37

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости Тогда
относительно плоскости
Тогда

Слайд 38

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равна:
Внутри поверхности заключен заряд .

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равна: Внутри поверхности заключен заряд
Следовательно, из теоремы Остроградского-Гаусса получим:
откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:
(2.5.1)

Слайд 39

2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами

2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными
с одинаковой по величине плотностью σ

Слайд 40

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой
из плоскостей. Тогда внутри плоскостей
Вне плоскостей напряженность поля
Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Слайд 41

Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке:

Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке:

Слайд 42

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):
т.е.

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): т.е.

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Слайд 43

Сила притяжения между пластинами конденсатора:
где S – площадь обкладок конденсатора.
Т.к.
Это

Сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к.
формула для расчета пондермоторной силы

Слайд 44

2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса

2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью
R, заряженной с постоянной линейной плотностью
где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра

Слайд 45

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r
и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси).

Слайд 46

Для оснований цилиндров
для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.
Следовательно, поток

Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r. Следовательно,
вектора через рассматриваемую поверхность, равен

Слайд 47

При на поверхности будет заряд
По теореме Остроградского-Гаусса
Тогда
Если , т.к. внутри

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса Тогда Если , т.к.
замкнутой поверхности зарядов нет.

Слайд 48

Графически распределение напряженности электростатического поля цилиндра показано на рис

Графически распределение напряженности электростатического поля цилиндра показано на рис

Слайд 49

2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным

2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком
знаком

Слайд 50

Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать
В зазоре между

Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать В зазоре между
цилиндрами, поле определяется так же, как в п. 2.5.3:

Слайд 51

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины,

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины,
если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:

Слайд 52

2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара

2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара

Слайд 53

Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис).

Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис).

Слайд 54

Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере,

Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере,
тогда
откуда поле вне сферы:
Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

Слайд 55

Как видно, вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины,

Как видно, вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.
помещенному в центр сферы.

Слайд 56

2.5.6. Поле объемного заряженного шара

Для поля вне шара радиусом R получается тот

2.5.6. Поле объемного заряженного шара Для поля вне шара радиусом R получается
же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Слайд 57

Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный
где ρ

Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный где
– объемная плотность заряда: объем шара:
Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем

Слайд 58

Т.е. внутри шара
Т.е., внутри шара имеем

Т.е. внутри шара Т.е., внутри шара имеем

Слайд 59

Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара

Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара
Имя файла: Презентация-на-тему-Электростатика-Лекция-.pptx
Количество просмотров: 550
Количество скачиваний: 0