Течение и свойства жидкости

Идеальная жидкость. Основные определения. Движение идеальной жидкости. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли.
Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью называется идеальной. Уравнение неразрывности: произведение площади поперечного сечения трубки на скорость движения жидкости есть величина постоянная
Пусть по наклонной трубке тока переменного сечения движется жидкость в направлении слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями S1 и S2 в которых скорости течения равны соответственно v1 и v2 .
Полная энергия жидкости
или
ΔW должна равняться работе ΔA внешних сил по перемещению массы Δm ΔW = ΔA

Определим ΔA. Внешняя сила давления F1 совершает работу ΔA1 по перемещению втекающей массы на пути v1Δt ; в то же время вытекающая масса совершает работу ΔA2 против внешней силы F2 на пути v2Δt поэтому
Учитывая, что
где P1 и P2-давления на сечениях S1 и S2, получим
и
, но
где ΔV - объем каждой из рассматриваемых масс, поэтому
Объединяя формулы, получим:
Поскольку S1 и S2 выбраны произвольно
уравнение Бернулли
В идеальной несжимаемой жидкости сумма динамического, гидравлического и статического давлений постоянна на любом поперечном сечении потока.
Для горизонтальной трубки уравнение Бернулли
Из уравнения Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а давление понижается.

К жидкостям относят вещества, которые по своим свойствам занимают промежуточное положение между газами и твердыми телами. Жидкие среды составляют наибольшую часть организма, их перемещение обеспечивает обмен веществ и снабжение клеток кислородом
Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости
При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называют внутренним трением или вязкостью.
Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластинками, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью vB. Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1, 2, 3 и т. д. Слой, «прилипший» ко дну, неподвижен. По мере удаления от дна (нижняя пластинка) слои жидкости имеют все большие скорости (v1 < v 2 < v 3 < ..), максимальная скорость vB будет у слоя, который «прилип» к верхней пластинке. Слои воздействуют друг на друга. Так, например, третий слой стремится ускорить движение второго, но сам испытывает торможение с его стороны, а ускоряется четвертым слоем и т. д.

Сила внутреннего трения пропорциональна площади S взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость. Так как разделение на слои условно, то принято выражать силу в зависимости от изменения скорости на некотором участке в направлении х, перпендикулярном скорости, отнесенного к длине этого участка, т. е. от величины dv/dx — градиента скорости (скорости сдвига):
уравнение Ньютона.
S- площадь соприкасающихся слоев жидкости, η- коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом внутреннего трения, или динамической вязкостью (или просто вязкостью)
Вязкость зависит от состояния и молекулярных свойств жидкости (или газа).
Единицей вязкости является Паскалъ-секунда (Па • с).
Жидкости, подчиняющиеся уравнению Ньютона, называются ньютоновскими. Жидкости, не подчиняющиеся уравнению Ньютона, называются неньютоновскими. Вязкость ньютоновских жидкостей называют нормальной, неньютоновских - аномальной.
Кровь является неньютоновской жидкостью.
Жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например растворы полимеров, и образующие благодаря сцеплению молекул или частиц пространственные структуры, являются неньютоновскими. Их вязкость при прочих равных условиях много больше, чем у простых жидкостей. Увеличение вязкости происходит потому, что при течении этих жидкостей работа внешней силы затрачивается не только на преодоление истинной, ньютоновской, вязкости, но и на разрушение структуры.

Течение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля
Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медицины особый интерес, так как кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра.
Примерное распределение скорости сло­ев v жидкости в сечении трубы показано на рис
Для определения зависимости скорости слоев от их расстояния г от оси выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса г и длины l . На торцах этого цилиндра поддерживаются давления р1 и р2 соответственно, что обусловливает результирующую силу
На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная

Проинтегрируем это уравнение

Проведем аналогию между формулой Пуазейля и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока — объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, электрическое сопротивление — гидравлическому сопротивлению:
Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позво­ляет в некоторых случаях использовать правило нахождения элект­рического сопротивления последовательного и параллельного соеди­нений проводников для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб.

Общее гидравлическое сопротивление трех труб, со­единенных последовательно и параллельно, вычисляется по формулам

Вязкость проявляется при движении не только жидкости по трубам, но и тел в жидкости.
Наиболее простой формой тела является сфера. Для сферического тела (шарика) зависимость силы сопротивления при его движении в сосуде с жидкостью выражается законом Стокса:
При небольших скоростях сила со­противления движущемуся телу в соответствии с уравнением Ньютона пропорциональна вязкости жидкости, скорости движе­ния тела и зависит от размеров тела.
где v0 — скорость равномерного движения (паде­ния) шарика.

Формула справедлива для движения шари­ка не только в жидкости, но и в газе.
Методы определения вязкости жидкости. Клинический метод определения вязкости крови
Совокупность методов измерения вязкости называют вискозиметрией, а приборы, используемые для таких целей, — вискозиметрами.
Капиллярный метод основан на формуле Пуазейля и заключается в измерении времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений. Капиллярные вискозиметры различной формы показаны на рис. а, б (1 — измерительные резервуары, М1 и М2 — метки, обозначающие границы этих резервуаров, 2 — капилляры, 3 — приемные сосуды).
Капиллярный вискозиметр применяется для определения вязкости крови.

Система кровообращения служит для постоянного снабжения клеток питательными веществами и газами, для обмена продуктами жизнедеятельности клеток, а также переноса тепла. Она представляет собой разветвленную и замкнутую цепь сосудов различного калибра. В этом она сходна с водопроводной системой, также предназначена для обмена водой и теплом между источником и многочисленными потребителями. В обеих системах движущей силой является давление, создаваемое на входе в систему и в участках выхода. Этой цели служит генератор давления, которым в системе кровообращения является сердце, а в водопроводной системе – насос.
Движение жидкости или крови всегда происходит от участка с более высоким давлением к участку со сниженным давлением, поэтому движение крови подчиняется тем же закономерностям, которые определяют движение жидкости в любой гидродинамической системе.
Гемодинамикой называют область биомеханики, в которой исследуется движение крови по сосудистой системе. Физической основой гемодинамики является гидродинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов.

Модель кровеносной системы, предложенная О. Франком.
Несмотря на достаточную простоту модель позволяет установить связь между ударным объемом крови(объем крови, выбрасываемый желудочком сердца за одну систолу), гидравлическим сопротивлением периферической части системы кровообращения Х0 и изменением давления в артериях.
Продифференцировав, получим
В упругий резервуар (артерии) поступает кровь из сердца, объемная скорость кровотока равна Q. От упругого резервуара кровь оттекает с объемной скоростью кровотока Q0 в периферическую систему (артериолы, капилляры). Предполагаем, что гидравлическое сопротивление периферической системы постоянно.

На основании уравнения Пуазейля можно записать для периферической части системы
Подставляя, получаем
Проинтегрируем. Пределы интегрирования по времени соответствуют Тп - периоду пульса (периоду сокращения сердца) от 0 до Тп. Этим временным пределам соответствуют одинаковые давления — минимальное диастолическое давление рд:
Интеграл с равными пределами равен нулю

Соответствующая кривая изображена тонкой линией на рис. и получаем зависимость объемной скорости оттока крови от времени:
Зависимости представляют собой экспоненты. Хотя данная модель весьма грубо описывает реальное явление, она чрезвычайно проста и верно отражает процесс к концу диастолы. Вместе с тем изменения давления в начале диастолы с помощью этой модели не описываются.

На основе механической модели по аналогии может быть построена электрическая модель
В более точной модели сосудистого русла использовалось большее количество эластичных резервуаров для учета того факта, что сосудистое русло является системой, распределенной в пространстве. Для учета инерционных свойств крови при построении модели предполагалось, что эластичные резервуары, моделирующие восходящую и нисходящую ветви аорты, обладают различной упругостью. На рис. приведено изображение модели Ростона, состоящей из двух резервуаров с различными эластичностями (упругостями) и с неупругими звеньями разного гидравлического сопротивления между резервуарами.

Двухкамерная модель лучше описывает процессы, происходящие в сосудистом русле, но и она не объясняет колебания давления в начале диастолы.
Модели, содержащие несколько сотен элементов, называют моделями с распределенными параметрами.

Пульсовая волна
При сокращении сердечной мышцы (систола) кровь выбрасывается из сердца в аорту и отходящие от нее артерии. Если бы стенки этих сосудов были жесткими, то давление, возникающее в крови на выходе из сердца, со скоростью звука передалось бы к периферии. Упругость стенок сосудов приводит к тому, что во время систолы кровь, выталкиваемая сердцем, растягивает аорту, артерии и артериолы, т. е. крупные сосуды воспринимают за время систолы больше крови, чем ее оттекает к периферии. Систолическое давление человека в норме равно приблизительно 16 кПа. Во время расслабления сердца (диастола) растянутые кровеносные сосуды спадают и потенциальная энергия, сообщенная им сердцем через кровь, переходит в кинетическую энергию тока крови, при этом поддерживается диастолическое давление, приблизительно равное 11 кПа.
Распространяющуюся по аорте и артериям волну повышенного давления, вызванную выбросом крови из левого желудочка в период систолы, называют пульсовой волной.
Пульсовая волна распространяется со скоростью 5—10 м/с и даже более. За время систолы (около 0,3 с) она должна распространиться на расстояние 1,5—3 м, что больше расстояния от сердца к конечностям. Это означает, что начало пульсовой волны достигнет конечностей раньше, чем начнется спад давления в аорте.

Профиль части артерии схематически показан на рис.
а — после прохождения пульсовой волны,
б — в артерии начало пульсовой волны,
в — в артерии пульсовая волна,
г — начинается спад повышенного давления.
Пульсовой волне будет соответствовать пульсирование скорости кровотока в крупных артериях, однако скорость крови (максимальное значение 0,3—0,5 м/с) существенно меньше, скорости распространения пульсовой волны.
Предположим, что гармоническая волна распространяется по сосуду вдоль оси X со скоростью v. Вязкость крови и упруговязкие свойства стенок сосуда уменьшают амплитуду волны. Можно считать, что затухание волны будет экспоненциальным. На основании этого можно записать следующее уравнение для пульсовой волны:
где pQ — амплитуда давления в пульсовой волне; х — расстояние до произвольной точки от источника колебаний (сердца); t — вре­мя; ω— круговая частота колебаний; χ — некоторая константа, определяющая затухание волны

Длина пульсовой волны
Волна давления представляет некоторое «избыточное» давление, поэтому с учетом «основного» давления ра (атмосферное давление или давление в среде, окружающей сосуд)
По мере продвижения крови (по мере увеличения х:) колебания давления сглаживаются. Схематично на рис. показано колебание давления в аорте вблизи сердца (а) и в артериолах (б). Графики даны в предположении модели гармонической пульсовой волны.
На рис. экспериментальные графики, показывающие изменение среднего значения давления и скорости vкр кровотока в зависимости от типа кровеносных сосудов. Гидростатическое давление крови не учитывается. Давление — избыточное над атмосферным. Заштрихованная область соответствует колебанию давления (пульсовая волна).

Скорость пульсовой волны в крупных сосудах следующим образом зависит от их параметров (формула Моенса—Кортевега):
У человека с возрастом модуль упругости сосудов возрастает, поэтому, становится больше и скорость пульсовой волны.

Работа и мощность сердца. Аппарат искусственного кровообращения
На сообщение кинетической энергии этому объему крови затрачена работа
Работа левого желудочка сердца при сокращении равна
Работа правого желудочка принимается равной 0,2 от ра­боты левого, то работа всего сердца при однократном сокращении

Пример
Подставив в формулу
значения р = 13 кПа, Vу = 60 мл = 6 • 10 5 м3, ρ = 1,05 • 103 кг/м3, v = 0,5 м/с, получим работу разового сокращения сердца в состоянии покоя: А1 ≈ 1 Дж. Считая. что в среднем сердце совершает одно сокращение в секунду, найдем работу сердца за сутки:
Ас = 86 400 Дж
Если учесть, что продолжительность систолы около t ~ 0,3 с, то средняя мощность сердца за время одного сокращения (W) = = A1/t = 3,3 Вт.

Физические основы клинического метода измерения давления крови
Систолическое и диастолическое давления в какой-либо артерии могут быть измерены непосредственно с помощью иглы, соединенной с манометром. Однако в медицине широко используется бескровный метод, предложенный Н. С. Коротковым. Рассмотрим физические основы этого метода на примере измерения давления крови в плечевой артерии.
Вокруг руки между плечом и локтем накладывают манжету. Сечения манжеты М, части руки Р, плечевой кости П и плечевой артерии А показаны на рис. а. При накачивании воздуха через шланг В в манжету рука сжимается. Затем через этот же шланг воздух выпускают и с помощью манометра Б измеряют давление воздуха в манжете. На позиции б тех же рисунков изображены продольные сечения плечевой артерии, соответствующие каждому случаю. Сначала избыточное над атмосферным давление воздуха в манжете равно нулю (рис.), манжета не сжимает руку и артерию.
По мере накачивания воздуха в манжету последняя сдавливает плечевую артерию и прекращает ток крови. Если мускулатура расслаблена, то давление воздуха внутри манжеты, состоящей из эластичных стенок, приблизительно равно давлению в мягких тканях, соприкасающихся с манжетой. В этом заключается основная физическая идея бескровного метода измерения давления. Выпуская воздух, уменьшают давление в манжете и в мягких тканях, с которыми она соприкасается. Когда давление станет равным систолическому, кровь будет способна пробиться через сдавленную артерию — возникает турбулентное течение. Продолжая уменьшать давление в манжете, можно восстановить ламинарное течение крови, что заметно по резкому ослаблению прослушиваемых тонов. Давление в манжете, соответствующее восстановлению ламинарного течения в артерии, регистрируют как диастолическое.

Для измерения артериального давления применяют приборы, показанные на рис.:
а — сфигмоманометр с ртутным манометром,
б — сфигмотонометр с металлическим мембранным манометром; здесь М — манжета, Г — груша для накачивания воздуха, Р — манометр.

Изучить методы :
Определение скорости кровотока
Ультразвуковой метод (ультразвуковая расходометрия) основан на эффекте Доплера
Электромагнитный метод (электромагнитная расходометрия) измерения скорости кровотока основан на отклонении движущихся зарядов в магнитном поле.