Тела вращения

Понятие о поверхностях и телах вращения.
Представим себе, что плоский многоугольник АВСDE вращается вокруг прямой АВ. При этом каждая его точка не принадлежащая прямой АВ, описывает окружность с центром на этой прямой. Весь многоугольник, вращаясь вокруг прямой, описывает некоторое тело вращения.

Плоскость симметрии и осевое сечение
Плоскость, проходящая через ось тела вращения, является его плоскостью симметрии. Таких плоскостей каждое тело вращения имеет бесконечно много. Любая плоскость, проходящая через ось тела вращения, пересекает это тело. Полученное сечение называют осевым. Они все равны.

Как задать тело вращения:
Чтобы задать тело вращения, достаточно указать его ось и фигуру, вращением которой получено данное тело. Например: «тело, образованное вращением треугольника вокруг его стороны.»

Цилиндр

Определение цилиндра:
Цилиндр – это тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Виды цилиндров:

Составляющие цилиндра:

Развертка цилиндра

Сечения цилиндра:

Основные формулы:
Sоснов= пR2
Sбок =2пRH
Sполн = 2пR2+2пRH
V= Sоснов* H = пR2 H

Задача: высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания – 10 см. Найти площадь боковой поверхности.
Решение: формула площади боковой поверхности цилиндра - Sбок =2пRH.
R= 10 см,
H= 12 см
Sбок = 2п*10*12=240п см2.
Ответ: 240п см2.

Конус

Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ

Определение конуса:
Конусом называется тело, которое состоит из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками окружности основания.

Виды конусов:

Составляющие конуса:

Развертка конуса:

Осевое сечение конуса.
Осевое сечение – это сечение плоскостью, проходящей через ось конуса. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого- диаметр основания конуса, а боковые стороны- образующие конуса.

Сечения конуса

Определение усеченного конуса:
Усеченным конусом называется тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

Составляющие усеченного конуса:

Основные формулы:
Конус:
Sбок = пRL
Sполн= пR(L+R)
V=1/3пR2H
Усеченный конус:
Sбок = п(R+r)L

Задача: высота конуса = 15 см, а радиус основания – 8 см. Найти образующую конуса.
Решение: Так как высота конуса перпендикулярна к его основанию, то используя теорему Пифагора, получим: а2 = b2 + c2.
Где а- образующая,
b – высота,
C – радиус основания.
а = 17 см.
Ответ: 17см.

Шар

Определение шара:
Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Шар – тело, ограниченное сферой.

Составляющие шара:

Сечения шара:

Прямая, проходящая через любую точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.

Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Шаровой слой – часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями.
Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса: если шаровой сегмент меньше полушара, то сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основание является основанием сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него не удаляется.

Основные формулы:
Шар:
Sполн = 4пR2
V = 4/3пR3
Шаровой сегмент:
V = пН2(R –1/3H)
Sполн = 2пRH
Шаровой сектор:
V = 2/3пR2H
Sполн= пR(2H+(2RH-H2) 1/2)

Задача: дан шар, радиус которого равен 25 см, найти площадь полной поверхности шара.
Решение: используя формулу площади полной поверхности шара, имеем –
Sполн = 4п25 см = 100п см2
Ответ: 100п см2