Теория гироскопов

Гироскоп – твердое симметричное тело, которое может вращаться вокруг оси симметрии с угловой скоростью, значительно превышающей скорость вращения самой оси симметрии. Гироскоп является основной частью таких гироскопических приборов летательных аппаратов, как гироскоп направления, гировертикаль, гирокомпас, гиротахометр, гиростабилизатор. На летательных аппаратах с помощью гироприборов определяют направление меридиана и истинной вертикали, измеряют угловые скорости и ускорения. Гироскопические компасы установлены на кораблях. Кинематическая схема трехстепенного гирпоскопа в кардановом подвесе показана на рис. 1.
Рис. 1. Кинематическая схема трехстепенного гироскопа
Главный конструктивный элемент гироскопа – ротор. Для обеспечения свободы вращения ротора вокруг неподвижной точки применяют карданов подвес, состоящий из двух рамок – внутренней и наружной. Ротор гироскопа с помощью осей карданова подвеса устанавливается в рамках. Ротор может совершать три независимых друг от друга вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке – центре ротора, которая при движении гироскопа остается неподвижной. Свободу вращения относительно трех осей x, y и z ротору обеспечивает карданов подвес. Ротор гироскопа вращается с большой угловой скоростью относительно внутренней рамки, которая может поворачиваться относительно внешней рамки, а последняя – относительно основания.

В микромеханических гироскопах (ММГ) применяются кремниевые технологии. Колебания чувствительных масс в каждой из схем возбуждаются электростатическим гребенчатым виброприводом. В конструкциях приборов реализуется компенсационный (с обратной связью) режим работы. Резонансная кривая роторного ММГ в окрестности частоты собственных колебаний (~ 5 кГц) приведена на рис. 2 б). В этой схеме амплитуда вынужденных угловых колебаний ротора при резонансной настройке составляет ~ 3°. Следует отметить острый характер резонанса, объясняющийся высокой добротностью кремниевого осциллятора. Указанное обстоятельство требует применения точной резонансной настройки, заключающейся в обеспечении и поддержании в процессе работы строгого совпадения частоты вибровозбуждения с собственной частотой осциллятора. В этом состоит одна из основных проблем, возникающих при разработке ММГ. В конструкциях разрабатываемых ММГ предусмотрены контуры подстройки частот. Добротность определяет ширину резонанса. Также ММГ могут работать в режиме прямого преобразования.
Рис. 2. Резонансные кривые роторного ММГ
ММГ являются электромеханическими системами, в которых энергия вынужденных (первичных) колебаний инерционной массы на упругом подвесе (резонатор) при воздействии переносной угловой скорости преобразуется в энергию вторичных колебаний, которые содержат информацию об измеряемой угловой скорости. Это преобразование осуществляется вследствие влияния на резонатор сил (или моментов) инерции Кориолиса при вращении резонатора с переносной угловой скоростью, вектор которой перпендикулярен вектору мгновенной скорости инерционной массы резонатора.
При изготовлении ММГ применяют высокодобротные материалы, такие как кремний, кварц и др. Для возбуждения первичных колебаний, создания сил и моментов компенсации, измерения параметров вторичных колебаний применяют электростатические, магнитоэлектрические, электромагнитные, а с резонаторами из пьезокерамики также пьезоэлектрические преобразователи.

Рис. 3. Структурная схема ММГ
Структурная схема ММГ показана на рис. 3. Чувствительный элемент (ЧЭ) относительно анкеров, скрепленных с подложкой, смонтирован на упругих элементах подвеса, которые позволяют ему перемещаться вдоль оси y относительно рамки и вместе с рамкой - вдоль оси x. В режиме движения электростатические гребенчатые двигатели обеспечивают перемещение ЧЭ вместе с рамкой и роторными элементами двигателей и датчиков перемещений вдоль оси x. При появлении угловой скорости вокруг оси z возникающие силы Кориолиса вызывают вторичные колебания ЧЭ вдоль оси y.
Основное допущение элементарной теории гироскопа
Пусть гироскоп совершает быстрое вращение вокруг своей оси с угловой скоростью ω1, а эта ось вращается с угловой скоростью ω2 (рис. 4). Абсолютная угловая скорость гироскопа ω равна геометрической сумме угловых скоростей: ω= ω1 + ω2. Совместим ось z с осью симметрии гироскопа.
Оси системы координат Oxyz – главные оси инерции, поэтому проекции момента количеств движения K на координатные оси равны
Kx = Ix ∙ω2x, Ky = Iy ∙ω2y, Kz = Iz ∙(ω1 + ω2z),
где Ix, Iy, Iz - моменты инерции гироскопа относительно соответствующих осей, причем Ix = Iy, поскольку ось z – ось симметрии.

Рис. 4. Три непараллельных направления
Можно обозначить три непараллельных направления: направление угловой скорости собственного вращения ω1, направление абсолютной угловой скорости ω и направление вектора момента количеств движения K (кинетического момента). Угол θ между вектором K и осью z равен
Обычно для гироскопов Ix /Iz ≈0,6. Принимая, что ω1 ≥ 3000 рад/c, ω2 ≤ 0,01 рад/c, получим
Поскольку данная величина пренебрежимо мала, можно допустить, что вектор кинетического момента K совпадает с осью динамической симметрии гироскопа
K = Iz∙ω1= Iz∙ω1∙k. (1)
Построенная на допущении (1) теория называется элементарной или прецессионной теорией гироскопа.
Теорема Резаля
Согласно теореме об изменении момента количеств движения материальной системы
(2)

где Me – главный момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно центра (неподвижной точки О).
Производная по времени от вектора K представляет собой скорость u конца этого вектора. Поэтому равенство (2) можно записать как
(3)
Формула (3) – теорема Резаля: скорость конца вектора момента количеств движения (кинетического момента) равна главному моменту всех внешних сил.
Основные свойства свободного (астатического гироскопа)
Гироскоп называется астатическим, если центр масс гироскопа совпадает с точкой пересечения осей карданова подвеса. Все свойства гироскопа вытекают из законов Ньютона. В рамках элементарной теории гироскопа справедливо соотношение
Iz∙ω1∙k=const. (4)
Из соотношения (4) следует, что вектор k, определяющий направление оси гироскопа, сохраняет в инерциальной системе отсчета неизменное направление. Основными свойствами трехстепенного гироскопа являются способность сохранять неизменным положение оси вращения ротора гироскопа в инерциальной системе координат, невосприимчивость к ударным воздействиям и способность совершать прецессионное движение.
Если ось быстровращающегося гироскопа направить на определенную точку инерциального пространства, то при угловых движениях основания гироскопа в разных плоскостях (в том числе и при движении основания вместе с вращением Земли) ось ротора сохраняет заданное ей направление. При ударе по какой-либо раме гироскопа возникают быстрозатухающие колебания оси ротора гироскопа с малой амплитудой. Если к

использовал Фуко для экспериментального доказательства вращения Земли. Оно полностью применимо лишь к идеальному гироскопу, так как из-за дисбаланса (несовпадения центра масс гироскопа с точкой пересечения осей карданова подвеса) и моментов трения реальный гироскоп всегда отклоняется от первоначального положения в инерциальном пространстве. Такое отклонение называется уходом или дрейфом гироскопа.
Следует отметить еще одно свойство гироскопа: переносное вращение гироскопа вызывает появление гироскопического момента Мг, который является проявлением сил инерции. Гироскопический момент всегда направлен так, что стремится совместить вектор угловой скорости собственного вращения ротора ω1 с вектором угловой скорости переносного вращения ω (рис. 5).
Рис. 5. Кинематическая схема трехстепенного
гироскопа