Théorèmes généraux

1- Lois de Kirchhoff
Le physicien allemand Gustav Kirchhoff a établi en 1845 deux lois qui fondent tous les calculs sur les circuits électriques.

Définitions:
Nœud : Un nœud est le point de jonction entre au moins trois fils de connexion
Branche: Une branche est un ensemble de dipôles montés en série entre deux nœuds

Maille: Une maille est un ensemble de branches formant un circuit fermé.On choisit une orientation sur chaque maille.
Réseau: Un réseau, ou circuit, est un ensemble de composants reliés par des fils de connexion qui peut être analysé en terme de nœuds, branches et mailles.

Lois de Kirchhoff:
1°) La Loi des nœuds: C ’est une conséquence de la conservation de la charge électrique.
La somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en repartent.

Plus généralement la loi des nœuds s’écrit:
Σεkik = 0
εk vaut +1 si le courant ik aboutit au nœud et –1 s’il en repart.
Remarque: on pourrait tout aussi bien utiliser la convention inverse et noter – les courants qui arrivent à un nœud et + les courants qui en partent, on obtiendrait la même équation!

2°) La loi des mailles:
La somme des tensions aux bornes des différentes branches d’une maille parcourue dans un sens déterminé est nulle.

Plus généralement la loi des mailles s’écrit:
Σεkuk = 0
εk vaut +1 si la tension uk est orientée dans le sens de la maille et –1 dans le cas contraire.
Remarque: on peut tout aussi bien orienter la maille dans le sens inverse. Cela revient à changer tous les signes et le résultat est le même! C’est pour cela qu’on dit que l’orientation sur la maille est choisie arbitrairement.

I sera compté positivement si le sens de I est le sens positif choisi
ou négativement si le sens de I est l’opposé du sens positif choisi.
Bien entendu, une fois qu’on a choisi le sens du courant dans une branche, le sens de la tension est fixé.
Quand le circuit n’est pas extrêmement simple, en général on ne peut pas savoir à priori quel sera le sens des courants et des tensions donc on choisit un sens positif à partir duquel les courants et tensions sont comptés algébriquement
Souvent on choisit ceci
mais on peut tout aussi bien choisir cela

Exemple 1:
1°) Déterminer les tensions u1, u2, u3.
2°) Déterminer les courants i1, i2, i3.
3°) Calculer les résistances

on choisit les mailles de manière à ce que chaque branche soit contenue dans au moins une maille
Il reste encore d'autres mailles possibles mais il ne faut pas les utiliser elles n'apportent aucune information et elles rendraient le calcul impossible!!

1°) application de la loi des mailles: calcul des tensions u1, u2, u3

2°) Application de la loi des nœuds: calcul des courants i1, i2, i3.
Nœud B: +1 + i1 –( –1) = 0 i1 = –2A
Nœud C: –1 –(+1) + i3 = 0 i3 = +2A
Nœud F: +i2 – i3 +1 = 0 i2 = +1A
3°) on a les courants et les tensions, on en déduit les résistances
R1 =3Ω R2 =1Ω R3 =1Ω R4 =3Ω

Exemple 2:
Le réseau ci-contre comprend un générateur G de f.e.m E=120V et de résistance interne r=2 Ω, un moteur de f.e.m. e =100V et de
résistance ρ=10 Ω, ainsi qu’une résistance R=38 Ω.
Calculer IG, IM et IR, ainsi que la tension U =VA – VB .
Analyse du circuit

Mise en équation
Une équation de nœud:
nœud A: IG – IR – IM = 0
Deux équations de maille:
Maille 1 [AGBRA]:
R.IR + r.IG – E = 0
Maille 2 [ARBMA]:
– R.IR + e + ρ.IM = 0
ρ.IM

Résolution du système d ’équations

2- Théorème de Thévenin
Publié en 1883 par l'ingénieur français Léon Charles Thévenin
Tout circuit linéaire peut être modélise par une source de tension en série avec une résistance.
http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/thevenin.html
http://labo.ntic.org/thevenin1/thevenin1.html

générateur de tension:
Soit une source de tension de f.e.m. EG et de résistance interne RG, le courant est orientée en convention générateur.
Remarque: pour une source de tension idéale RG = 0
En convention récepteur: pareil mais le sens positif choisi pour la courant est orienté en sens inverse. Si I était positif, il devient négatif. On change I en −I.

Une partie du circuit entre les bornes A et B est considérée comme un générateur, qui peut être modélisé par une f.e.m. équivalente ETh.
Et sa résistance interne équivalente RTh.
Le théorème de Thévenin nous indique comment calculer ETh et RTh

1-Calcul de la f.e.m. du générateur équivalent de Thévenin: On ne garde que la partie du circuit considérée comme générateur. VA-VB =ETh. Exemple de calcul:
2-Calcul de la résistance interne du générateur équivalent de Thévenin:
On supprime la (ou les) f.e.m. et on calcule la résistance vue entre les bornes A et B: Dans cet exemple on obtient:

Exemple de calcul:
Une seule boucle:
+ETh-RTh.IM - ρ.IM - e = 0
qui s'écrit aussi
ETh - e = IM.(RTh + ρ)
IM = (114-100)/(1,9+10)
IM = 14 ÷11,9 = 1,176 A

3- Théorème de superposition
Dans un réseau linéaire alimenté par plusieurs sources indépendantes, le courant circulant dans une branche est la somme algébrique des courants produits par les différentes sources agissant séparément.

Soit un circuit linéaire comportant plusieurs sources autonomes de tension et de courant. Le courant dans une branche (ou la tension aux bornes d'une branche) est égal à la somme algébrique des courants (ou des tensions) produits séparément par chaque source autonome, toutes les autres sources autonomes étant éteintes.
Définition: Un générateur de courant ou de tension est dit "source autonome" si sa f.e.m. ou son courant électromoteur sont indépendants des autres grandeurs du circuit. Dans le cas contraire, la source est dite liée.

Calculer les courants:
E = 12 V ; e = 100 V ; r =2Ω ; R = 38Ω ; ρ = 10Ω

4- Théorème de Norton
Le théorème a été publié en 1926 par l'ingénieur des laboratoires Bell, Edward Lawry Norton
Tout circuit linéaire peut être modélise par une source de courant en parallèle avec une résistance.

*2

Caractéristiques du module photovoltaïque G36XCD
Exemple de générateur de courant

Les conditions étant les mêmes que pour l’application du théorème de Thévenin, mais cette fois la partie du circuit considérée comme le générateur est modélisée par une source de courant en parallèle avec sa résistance interne ρ.

5- Théorème de Millman

Analyse du circuit
V1-V0=R1.i1
V2-V0=R2.i2
V3-V0=R3.i3
i1+i2+i3=0
1°) U=RI pour
chaque branche
i1=(V1-V0)/R1
i2=(V2-V0)/R2
i3=(V3-V0)/R3

Utile pour calculer un réseau électrique constitué de plusieurs branches en parallèle.
La conductance Gi
est l’inverse de
la résistance Ri