Твердое тело в механике

Физическая модель №2: абсолютно твердое тело – тело, которое при движении не изменяет своей формы и размеров.
Степени свободы - независимые возможные изменения состояния или положения системы, обусловленные изменениями её параметров.
Число степеней свободы – минимальное число независимых координат, определяющих положение тела в пространстве.
Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы. Три линейные степени свободы (xC, yC, zC) определяют положение центра инерции тела. Три угловые степени свободы (ζ, ψ, ϕ) определяют пространственную ориентацию твердого тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей.

Классификация видов движения твердого тела
1. Поступательное движение – это движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. Три степени свободы: xC, yC, и zC .
2. Вращательное движение – это движение твердого тела, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой и все плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой.
Одна степень свободы: ϕ.

3. Плоское движение – это движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Четыре степени свободы: xC, yC, zC и ϕ. Классический пример: качение цилиндра по плоскости без проскальзывания.
4. Вращение вокруг неподвижной точки - это движение твердого тела, при котором остается неподвижной одна точка, жестко связанная с телом Три степени свободы: ζ, ψ и ϕ .
5. Свободное движение – наиболее общий вид движения твердого тела с шестью степенями свободы: xC, yC, zC и ζ, ψ, ϕ.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Угловая координата ϕ – угол поворота тела из некоторого определенного (начального) положения.
Угловая скорость - быстрота вращения тела
. (4.1)
Для того, чтобы изменить угловую скорость тела к нему необходимо приложить вращающий момент.
Вращающий момент (или момент силы относительно оси) – величина, характеризующая вращательный эффект силы при ее действии на твердое тело: , (4.2)
где d – плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Вращающий момент – скалярная алгебраическая величина; она положительна, если под действием момента тело вращается против часовой стрелки, и
отрицательна, если под действием момента тело
вращается по часовой стрелке. На рисунке момент силы положителен
( ); момент силы отрицателен ( ).

Момент инерции
Момент инерции – величина характеризующая инертность тела при его вращательном движении и зависящая от массы, формы и размеров тела, а также от положения оси вращения; [ I ] =кг⋅м2.
Собственный момент инерции, IC - момент инерции, относительно оси, проходящей через его центр инерции.
Примеры собственных моментов инерции тел различной формы

Примеры собственных моментов инерции тел различной формы

Теорема Штейнера
Теорема Штейнера: моменты инерции тела относительно параллельных осей связаны соотношением:
, (4.3)
где m и IC – масса и собственный момент инерции тела, x - расстояние между осями.
Пример использования теоремы Штейнера

Динамика твердого тела
Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси:
, (4.4)
где I и ω – момент инерции и угловая скорость тела.
Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
Общая формулировка: Скорость изменения момента импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна результирующему вращающему моменту внешних сил, приложенных к телу:
. (4.5)
Частная формулировка: Если при вращении тела вокруг неподвижной оси его момент инерции не изменяется, то угловое ускорение тела прямо пропорционально результирующему вращающему моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой же оси:
. (4.6)

Следствие из уравнения (4.5):
если , (4.7)
т. е. если на тело не действуют внешние силы, то произведение момента инерции тела на его угловую скорость не изменяется с течением времени.
Уравнение (4.7) - частный случай закона сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой (изолированной) системы не изменяется при любых процессах происходящих внутри этой системы.

Сохранение момента импульса