Устойчивость упругих систем

Понятие об устойчивости
Состояние равновесия при котором достаточно незначительной случайной внешней силы что бы тело вышло из положения равновесия называется неустойчивым.
Значение внешней силы, при которой система переходит из устойчивого состояния в неустойчивое, называется критической силой.
Отношение критической силы механической системы к фактической внешней нагрузке приложенной к ней называется запасом устойчивости:

Понятие об устойчивости
Не восстанавливает первоначальную форму
Восстанавливает первоначальную форму
Устойчивость упругих систем
Механическая система находится в состоянии безразличного равновесия, если любые изменения в ней происходят только под действием внешней нагрузки.
В сопротивлении материалов рассматривается упругие системы в которых в качестве восстанавливающей реакции выступают силы упругости.
Устойчива
Не устойчива

Понятие об устойчивости
Устойчива
Не устойчива
Не восстанавливает первоначальную форму
Восстанавливает первоначальную форму
Брус нагруженный осевой сжимающей силой называется стойкой.
Стойка, как правило, имеет трубчатое и коробчатое сечение, также часто используются составн6ые сечения из прокатных профилей

Формула Эйлера для критической силы
μ=2
μ=0,7
μ=0,5
Е – модуль упругости, Iмин – момент инерции, μ - коэффициент закрепления.
Коэффициент закрепления стойки μ оценивает на какой части длины стойки укладывается полуволна синусоиды.
μ=1

Формула Эйлера для критического напряжения
Радиус инерции
Гибкость сжатой стойки
Формула для критических напряжений

Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера применима при условии если напряжения не превышают пределе пропорциональности σпц .
Формула Эйлера для критических напряжений
Условие применимости формулы Эйлера
Выразим из этой формулы гибкость стойки
или
Примем следующее обозначение
Условие применимости формулы Эйлера
λпр - предельная гибкость стойки, зависит только от свойств материала.
получим:
Для стали Ст.3: Е=2·105 МПа, σпц=200 МПа, λпр≈100.
Для стали Стали 45: Е=2·105 МПа, σпц=400 МПа, λпр≈70.

Формула Феликса Ясинского
Для критической силы
Для критического напряжения
Здесь a и b – постоянный коэффициенты зависящие от материала стойки
Значения коэффициентов a и b, МПа
Формула Ясинского является обобщением огромного экспериментального материала по устойчивости стержней средней гибкости;

Диаграмма критических напряжений
Для стали Ст. 3 λпр =100; Для стали Ст.5 λпр=85
Для чугуна λпр=80 Для древесины λпр=70
Значение предельной гибкости для различных материалов
Диаграмма критических напряжений используется для выбора формулы при проведении проверочных расчетов на устойчивость или прочность.
Алгоритм расчета
1. Определить фактическую гибкость стойки
2. Сравнить фактическую гибкость с предельной гибкостью λпр и с λ1=40.
3. По результатам сравнения выбрать соответствующую формулу

Инженерный способ расчета на устойчивость
Формулы Эйлера и Ясинского используются для выполнения проверочных расчетов конструкций на устойчивость.
Дано: Сжимающая сила F=50 кН, длина стойки L=2,0 м, стойка имеет круглое поперечное сечение, материал Ст.3, допускаемое напряжение [σ]=100 МПа. Обе опоры стойки шарнирные (μ=1).
Определить размеры поперечного сечения стойки.
Условие устойчивости записывается в следующем виде
Проверочный расчет
Проектный расчет
Для выполнения проектных расчетов используется специальная методика основанная на использовании коэффициента понижения допускаемого напряжения ϕ
Алгоритм выполнения проектного расчета проще показать на конкретном примере.

Инженерный способ расчета на устойчивость
5. Фактическая гибкость стойки:
3. Геометрические размеры поперечного сечения
4. Радиус инерции сечения
Алгоритм выполнения проектного расчета
ϕ1=0,5
2. Площадь сечения стойки в первом приближении:
1. Первое значение коэффициента ϕ:
Перед началом расчета неизвестны геометрические размеры поперечного сечения стойки, а следовательно нет возможности определить гибкость стойки и коэффициент ϕ. Принимаем любое значение от 0 до 1.

Инженерный способ расчета на устойчивость
6. По значению фактической гибкости стойки λ1=222 из таблицы выбираем значение коэффициента ϕ точного значения нет поэтому нужно:
Из таблицы гибкости λ=190 соответствует значение ϕ(190)=0,21;
Гибкости λ=200 - ϕ(200)=0,19;
На десять единиц гибкости приходится Δϕ=0,02
На 22 единицы гибкости приходится Δϕ=0,02 ·22/10=0,044,
ϕ(222)=0,19-0,044=0,146.
ϕт1=0,146< ϕ1=0,5
Условия ϕт1=ϕ1не выполняется и нужно повторить расчет приняв новое значение коэффициента ϕ2.

Инженерный способ расчета на устойчивость
11. Фактическая гибкость стойки:
9. Геометрические размеры поперечного сечения
10. Радиус инерции сечения
8. Площадь сечения стойки во втором приближении:
7. Второе значение коэффициента ϕ:
Условия ϕт2=ϕ2не выполняется и нужно повторить расчет приняв новое значение коэффициента ϕ3.
ϕт2=0,23< ϕ2=0,323