c7df1c2c196b415985302bd64de9e42c

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
система счисления
цифра
алфавит
непозиционная система счисления
позиционная система счисления
основание системы счисления
развёрнутая форма записи числа
свёрнутая форма записи числа

Простейшая и самая древняя система - унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.
Зарубки
УНАРНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Простейшая и самая древняя система - унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.
Камушки
УНАРНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Простейшая и самая древняя система - унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.
Узелки, зарубки
УНАРНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Робинзон Крузо использовал унарную систему счисления (зарубки на дереве) для ведения календаря на необитаемом острове.
Унарная система счисления (счетные палочки) используется для обучения детей счету.
Унарную систему можно разглядеть в индикаторах уровня звукового сигнала в аудиосистемах.

ДРЕВНЕЕГИПЕТСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
1235

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент цифры
не зависит от её положения в записи числа.
Проблемы непозиционных систем счисления:
бесконечный алфавит;
невозможность записи дробных и отрицательных чисел;
сложность выполнения арифметических операций.

РИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

ЗАПИСЬ ЧИСЕЛ В РИМСКОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
В наши дни любую из римских цифр предлагается использовать в записи одного числа не более трёх раз подряд.

Алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:
каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению;
каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
40
=
X
L
1935
M
C
M
X
X
X
28
X
X
V
I
I
I
V
ЗАПИСЬ ЧИСЕЛ В РИМСКОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

СЛАВЯНСКАЯ КИРИЛЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
55 288 1 498

ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения в записи числа.
Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задаёт вес соответствующего разряда.
Алфавит десятичной системы счисления:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Базис десятичной системы счисления:
1, 10, 100, 1000, …
Основание десятичной системы счисления: 10

ПРИМЕР

УЗЛОВЫЕ И АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
Узловые числа обозначаются цифрами.
× 100 +
× 10 +
=
Алгоритмические числа образуются из узловых:

Начало десятичной системе счисления было положено в древнем Египте и Вавилоне.
В основном её формирование было завершено индийскими математиками в V-VII вв. н.э. Арабы, познакомившись с этой нумерацией, по достоинству оценили её удобство и начали использовать в торговле.
В XII веке арабская нумерация распространилась по всей Европе.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Существует множество позиционных систем счисления.
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.
Алфавитом позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, …, q – 1.
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ 5
Основание: 5
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4
Базис: 1, 5, 25, 125, …
12245
2105
23115

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ q
Основание: q
Алфавит: 0, 1, …, q – 1
Базис: 1, q, q2, q3, …
Свернутая форма записи целого положительного числа:
Aq = (an-1an-2…a1a0) q
1246
32104
73118
10102

Развернутая форма записи целого положительного числа:
Aq = an-1⋅q n-1 + an-2⋅q n-2 + … + a1⋅q1 + a0⋅q0
Здесь:
A – число,
q – основание системы счисления,
ai – цифры из алфавита системы счисления,
n – количество разрядов числа,
q i – вес i-го разряда числа.
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ q

5432 = 5000 + 400 + 30 + 2
5432 = 5×1000 + 4×100 + 3×10 + 2×1
5432 = 5×103 + 4×102 + 3×101 + 2×100
5432 – запись числа в свернутой форме.
Развернутая форма записи числа – запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.
РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ

Степени основания определяют количественный эквивалент цифры в записи числа.
Развернутая форма записи числа – запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.
5432 = 5×103 + 4×102 + 3×101 + 2×100
РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ

Развернутая форма записи числа – запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.
54328 = 5×83 + 4×82 + 3×81 + 2×80
54328 = 5×512+ 4×64 + 3×8 + 2×1 = 2842
РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ
3 2 1 0

КАК ЗАПИСАТЬ ЧИСЛО В РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЕ
1) Выписать число в свернутой форме
2) Над цифрами числа справа налево расставить степени, начиная с нуля.
3) Составить сумму, каждое слагаемое которой - это произведение цифры в записи числа и основания используемой системы счисления в степени, указанной над этой цифрой.
5156 =
1558 =
5×62 + 1×61 + 5×60
1×82 + 5×81 + 5×80

КАК ПЕРЕВЕСТИ ЧИСЛО В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ
Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления, необходимо:
записать исходное число в развёрнутой форме,
вычислить значение получившегося арифметического выражения.

КАК СРАВНИТЬ ЧИСЛА, ЗАПИСАННЫЕ
В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
1) Записать каждое из чисел в развернутой форме.
2) Вычислить десятичный эквивалент каждого числа.
3) Сравнить десятичные эквиваленты исходных чисел.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Чем различаются унарные, позиционные и непозиционные системы счисления?

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
На постаменте памятника Петру I в Санкт­-Петербурге римскими цифрами записан год открытия памятника: MDCCLXXXII. В каком году был открыт этот памятник?

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Как вы считаете, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения?

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Запишите в развёрнутом виде числа:
а) 143,51110
б) 1435118
в) 14351116

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Запишите числа в свернутой форме:
а) 5×103 +0×102 +3×101 +1×100 =
б) 1×104 +6×103 +3×102 +7×101 +3×100 +9×10–1 =

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Запишите десятичные числа в развернутой форме:
а) 2021
б) 435
в) 3008

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:
а) 1728;
б) 21916;
в) 1010102;
г) 2436.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Укажите, какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1616 является:
а) наибольшим;
б) наименьшим.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Верны ли следующие равенства?
а) 334 = 217;
б) 337 = 214.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Найдите основание х системы счисления, если:
а) 14x = 910;
б) 2002x = 13010.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Какое двузначное в десятичной системе счисления число окажется «круглым» (с двумя нулями в конце) в пятерич­ной системе счисления? Если таких чисел несколько, то перечислите их все.