Формы мышления. Алгебра высказываний. Логические выражения и таблицы истинности

Формы мышления
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные в 4 веке до нашей эры древне-греческими мыслителями.
Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы речи от ее содержания. Он исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.
Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления, который реализуется в таких естественно сложившихся формах как понятие, суждение, умозаключение и доказательство.

Понятие
Понятие - это форма мышления, отражающая наиболее существенные свойства предмета, отличающие его от других предметов.
В структуре каждого понятия нужно различать две стороны: содержание и объем.
Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков предмета. Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется.

Высказывание.
Высказывание (суждение) - это форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.
Высказывание может быть истинным или ложным. Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным суждение будет в том случае, когда связь понятий искажает объективные отношения, не соответствует реальной действительности.
В естественном языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением. Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков.
Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).

Умозаключение.
Умозаключение - это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам логического вывода получается новое знание о предметах реального мира (вывод).
Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии. В дедуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от общего к частному. Например, из двух суждений: «Все металлы электропроводны» и «Ртуть является металлом» путем умозаключения можно сделать вывод, что: «Ртуть электропроводна».
В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к общему. Например, установив, что отдельные металлы - железо, медь, цинк, алюминий и т.д. - обладают свойством электропроводности, можно сделать вывод, что все металлы электропроводны.
Умозаключение по аналогии представляет собой движение мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов или процессов к общности других свойств и отношений. Например, химический состав Солнца и Земли сходен по многим показателям, поэтому, когда на Солнце обнаружили неизвестный еще на Земле химический элемент гелий, то по аналогии заключили: такой элемент есть и на Земле.

Доказательство.
Доказательство есть мыслительный процесс, направленный на подтверждение или опровержение какого-либо положения посредством других несомненных, ранее обоснованных доводов.
Доказательство по своей логической форме не отличается от умозаключения. Однако, если в умозаключении заранее исходят из истинности посылок и следят только за правильностью логического вывода, в доказательстве подвергается логической проверке истинность самих посылок.

Алгебра высказываний
Алгебра в широком смысле этого слова наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.).
Объектами алгебры логики являются высказывания.
Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт — истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.
Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:
А = {Аристотель - основоположник логики}
В = {На яблонях растут бананы}.
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.
Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):
· в естественном языке соответствует союзу и;
· в алгебре высказываний обозначение &,^;
· в языках программирования обозначение And.
Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):
· в естественном языке соответствует союзу или;
· обозначение V ;
· в языках программирования обозначение Or.
Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Логическая операция ИНВЕРСИЯ
(отрицание):
в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице не;
· обозначение ¬,¯ ;
· в языках программирования обозначение Not;
Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ
(логическое следование):

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
(равнозначность):

Логические выражения и таблицы истинности
Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.
Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.

Логические выражения и таблицы истинности
Алгоритм построения таблицы истинности:
1) подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
2) определить число строк в таблице, которое равно m = 2n;
3) подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;
4) ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
5) заполнить стобцы входных переменных наборами значений;
6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.

Логические выражения и таблицы истинности
Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуют перечислять следующим образом:
а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;
б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц , начиная с группы нулей;
в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

Пример
Для формулы A^(B V(¬B^ ¬C) ) построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц.
Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 23 = 8.
Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 = 8.

Логические функции
Логической (булевой) функцией называют функцию F(Х1, Х2, ..., Хn), аргументы которой Х1, Х2, ..., Хn (независимые переменные) и сама функция (зависимая переменная) принимают значения 0 или 1.
Таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют таблицей истинности логической функции. Таблица истинности логической функции n аргументов содержит 2n строк, n столбцов значений аргументов и 1 столбец значений функции.
Логические функции могут быть заданы табличным способом или аналитически — в виде соответствующих формул.

Логические законы и правила преобразования логических выражений
1. Закон двойного отрицания:
А=¬¬A.
Двойное отрицание исключает отрицание.
2. Переместительный (коммутативный) закон:
— для логического сложения:
АVB=BVA;
— для логического умножения:
A^B = B^A.

Логические законы и правила преобразования логических выражений
3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
— для логического сложения:
(A VB) VC = A V (B VC);
— для логического умножения:
(A^B)^C = A^(B^C).
При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.
4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
— для логического сложения:
(AV B)^C = (A^C) V(B^C);
— для логического умножения:
(A^B) VC = (AV C)^(BV C).
Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

Логические законы и правила преобразования логических выражений
5.Закон общей инверсии (законы де Моргана):
— для логического сложения
¬(AVB)=¬A^¬B;
— для логического умножения:
¬(A^B)=¬AV¬B

Логические законы и правила преобразования логических выражений
6.Закон идемпотентности ( от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный; дословно — равносильный):
— для логического сложения:
AVA=A;
— для логического умножения:
A^A=A.
Закон означает отсутствие показателей степени.
7.Законы исключения констант:
— для логического сложения:
AV1 = 1, AV0 =A;
— для логического умножения:
A^1 =A, A^0 = 0.

Логические законы и правила преобразования логических выражений
8.Закон противоречия:
A^¬A= 0.
Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.
9.Закон исключения третьего:
AÚ¬A= 1.
Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

Логические законы и правила преобразования логических выражений
10.Закон поглощения:
— для логического сложения:
AV(A^B) =A;
— для логического умножения:
A^(AVB) =A.
11. Закон исключения (склеивания):
— для логического сложения:
(A^B)V(¬A^B) =B;
— для логического умножения:
(AVB)^(¬AVB) =B.