Хранение в памяти вещественных чисел

Хранение вещественных чисел
С фиксированной запятой (в первых ЭВМ):
для больших и маленьких чисел нужно масштабирование
0,000000000000012345
123450000000000000,0
С плавающей запятой (автоматическое масштабирование):
положение
запятой
цифры числа
1,2345·10-14
1,2345·1017

Хранение вещественных чисел
Теоретически оптимальный вариант (целая часть = 0):
0,0012345 = 0,12345·10-2
12,345 = 0,12345·102
всегда 0
один разряд расходуется впустую!
Экономный вариант (целая часть от 1 до B):
основание системы счисления
0,0012345 = 1,2345·10-3
12,345 = 1,2345·101
повышение точности при конечном числе разрядов

Нормализация
Нормализованная форма: значащая часть Z удовлетворяет условию 1 ≤ Z < B, где B – основание системы счисления (стандарт IEEE 754).
Пример:
17,25 = 10001,012 = 1,0001012·24
5,375 =
7,625 =
27,875 =
13,5 =
0,125 =
всегда 1, её можно не хранить в памяти!

Число обычной точности (single)
-17,25 = -10001,012 = -1,0001012·24
single: 4 байта = 32 бита
мантисса = дробная часть Z
порядок со
смещением
знак
p = 4 + 127 = 131 = 100000112
С
1
8
A
0
0
0
0
для single

Диапазон вещественных чисел
Extended – тип для вычислений в сопроцессоре, единица в значащей части не скрывается.
Single, double – только для хранения.

Компьютерная арифметика
§ 28. Операции с вещественными числами

Сложение и вычитание
порядки выравниваются до большего
значащие части складываются (или вычитаются)
результат нормализуется
1,2345·10 – 5 + 1,2345·105 = ?
Пример:
7,25 = 111,012 = 1,11012·22
1,75 = 1,112 = 1,112·20
1,75 = 0,01112·22
10,012·22 = 1,0012·23

Умножение и деление
1,2345·10 – 5 · 1,2345·105 = ?
значащие части умножаются (или делятся)
порядки складываются (или вычитаются)
результат нормализуется
Пример:
1,75 = 1,112 = 1,112·20
6 = 1102 = 1,12·22
1,112·1,12 = 10,1012
10,1012·22 = 1,01012·23
0 + 2 = 2