Логические задачи и способы их решения. Элементы теории множеств и алгебры логики

Ключевые слова
логические задачи
метод рассуждений
задачи о рыцарях и лжецах
логические выражения
таблицы истинности

Методы решения логических задач
Исходными данными в логических задачах являются высказывания. Сложность взаимосвязи между высказываниями требует специальных методов решения.

Метод рассуждений
Основная идея этого метода состоит в том, чтобы последовательно анализировать всю информацию, име-ющуюся в задаче, уменьшая количество возможных вариантов.

Японские кроссворды
Цифра в кроссворде показыва-ет сколько клеток под-ряд должно быть закрашено в строке или столбце. Порядок следования цифр в строках – слева направо в столбцах – сверху вниз. Две цифры означают, что на этой линии есть два участка закрашенных клеток. Между ними имеется не менее одной пустой клетки.
Закрашенная клетка
Клетка наверняка пустая
Показать ответ
Клик мышкой – демонстрация решения.

Метод рассуждений
В дачном поселке Солнцево на улице, идущей с востока на запад, стоят три дома. Хозяева этих домов – Арбузов, Бахчев и Семечкин. Определите кто в каком доме живет, профессии персонажей задачи и клички их собак (Шарик, Тузик, Пират).
Агроном дружит с Арбузовым и они даже сделали калитку между своими участками.
Кузнец не выговаривает букву Р и не может правильно произнести свою фамилию, и даже чужая собака стала откликаться на кличку Кубик, вместо Шарика.
У собаки ветеринара Пират ворует зарытые кости.
Перейти к решению
Семечкин ругается с агрономом, т.к. тень от его елки лишает утреннего света половину грядок.

Метод рассуждений
Семечкин ругается с агрономом, т.к. тень от его елки лишает утреннего света половину грядок.
Агроном дружит с Арбузовым и даже сделали калитку между своими участками.
Кузнец не выговаривает букву «Р». Не может правильно произнести свою фамилию, и даже чужая собака стала откликаться на кличку Кубик, вместо Шарика.
У собаки ветеринара Пират ворует зарытые кости.
Арбузов
Семечкин
Бахчев
Агроном
Ветеринар
Кузнец
Шарик
Тузик
Пират
А
С
Б
Аг
Ве
Ку
Ш
Т
П
Вернуть
Вернуть
Вернуть
Арбузов
Семечкин
Бахчев
Агроном
Ветеринар
Кузнец
Шарик
Тузик
Пират
А
С
Б
Аг
Ве
Ку
Ш
Т
П
Арбузов
Семечкин
Бахчев
Агроном
Ветеринар
Кузнец
Шарик
Тузик
Пират
А
С
Б
Аг
Ве
Ку
Ш
Т
П
Оставить верное

Сапер
Число в ячейке показывает количество мин в восьми ячейках вокруг данной.
4

Построение таблиц истинности
Может, оба истинны,
а может, оба ложны
По крайней мере одну из этих конфет можно съесть.
Красную есть нельзя!
Аппарат алгебры логики позволяет применять к широкому классу логических задач универсальные методы, основанные на формализации условий задачи. Одним из таких методов является построение таблицы истинности по условию задачи и её анализ.

Задачи о рыцарях и лжецах
Решение задачи сводится к перебору вариантов и исклю-чению тех из них, которые приводят к противоречию. Задачи о рыцарях и лжецах – это такой класс логических задач, в которых фигурируют персонажи:
рыцарь – человек, всегда говорящий правду
лжец – человек, всегда говорящий ложь
обычный человек – человек, который в одних ситуациях может говорить правду, а в других – лгать

Задачи о рыцарях и лжецах
Вы попали на остров, на котором живут только рыцари и лжецы. Покинуть остров можно по одному из двух мостов (А или B). Один из мостов приведет вас на большую землю и вы спасены. Другой мост ведет на непроходимые болота. Для того, чтобы выбраться, у вас есть возможность обратиться с единственным вопросом к одному из двух жителей. Имеется достоверная информация: один из двух ваших собеседников рыцарь, а другой лжец. Какой вопрос следует выбрать?
Твой друг отправит на мост В?
Ты рыцарь?
Твой друг рыцарь?
Мне лучше выбрать мост А?
Ответы одинаковые.
Рыцарь говорит правду про ответ лжеца, а лжец врет про ответ рыцаря.
По какому мосту следует пойти?
Оба отвечают одинаково.
Но информации о выходе нет.
Оба отвечают одинаково.
Но информации о выходе нет.
Ответы разные.
Если выход по мосту А, то рыцарь ответит: «Да», а лжец ответит: «Нет».
Если выход по мосту B, то рыцарь ответит: «Нет», а лжец ответит «Да»
ДА!!!
ДА!!!
НЕТ!
НЕТ!
Мост A
Мост В

Применение логических законов
После рассмотрения всех материалов стало понятно, что второй или третий свидетель ошиблись. Кто был на месте преступления?
Суд присяжных выслушал трех свидетелей:
Ответ: Андреев был, Семенов не был,
Борисов – неизвестно.
Решение
Подсказка №2
Подсказка
№1
Ответ

Самое главное
Исходными данными в логических задачах являются высказывания. Высказывания и взаимосвязи между ними бывают так сложны, что разобраться в них без использования специальных методов сложно. Основная идея метода рассуждений состоит в том, чтобы последовательно анализировать всю информацию, имеющуюся в задаче, и делать на этой основе выводы.
Для решения логических задач, связанных с рассмотрением нескольких конечных множеств, прибегают к помощи таблиц или графов. От того, насколько удачно выбрана их структура, во многом зависит успешность решения задачи.
Аппарат алгебры логики позволяет использовать универсаль-ные методы, основанные на формализации условий задачи:
1) построения таблицы истинности по условию задачи и её анализ;
2) составления и упрощения логического выражения.