Основы логики и логические основы построения компьютера

Процессор компьютера выполняет арифметические и логические операции над двоичными кодами.
И поэтому чтобы иметь представление об устройстве компьютера, необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Для понимания принципа работы таких элементов изучим основные начальные понятия алгебры логики.

Логика - это наука о формах и способах мышления.
Термин «логика» происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон»
Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Дальнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Алгебру логики так же называют
алгеброй Буля, или булевой алгеброй,
по имени английского математика Джорджа Буля, разработавшего в XIX веке ее основные положения.

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Понятие имеет две стороны: содержание и объём.
Например, содержание понятия «персональный компьютер – это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя.»
Объём понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.
Форма мышления

Высказывание (суждение) – это форма мышления, в которой
что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов, их свойствах и отношениях между ними.
Высказывание могут принимать только два значения – Истина (обозначается 1) или Ложь (обозначается 0).
Высказывания могут быть простыми и составными.
Форма мышления

Простые высказывания
Форма мышления

Простое высказывание состоит из одного высказывания и не содержит логической операции.
Составное высказывание содержит высказывания, объединенные логическими операциями.
Например, высказывание «Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати» является составным высказыванием, состоящим из двух простых, соединённых союзом «и».

Сложные высказывания.
Форма мышления

Предикаты
Высказывание состоит из понятий, и его можно сравнить с арифметическим выражением. В математической логике рассматриваются предикаты, т. е. функциональные зависимости от неопределённых понятий (терминов), которые можно сравнить с переменными в уравнении.
В предикатах 1 порядка один из терминов является неопределённым понятием: «X – человек».
В предикатах 2 порядка два термина неопределённы: «X любит Y».
В предикатах 3 порядка неопределённы три термина: «Z – сын X и Y».
Преобразуем в высказывания:
«Сократ – человек»;
«Ксантиппа любит Сократа»;
«Софрониск – сын Сократа и Ксантиппы»

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний может быть получено новое высказывание.
Форма мышления
Например, если мы имеем высказывание «Все углы треугольника равны», то мы можем путём умозаключения доказать, что в этом случае справедливо высказывание «Это треугольник равносторонний».

В качестве основных логических операций в составных высказываниях используются:
НЕ (логическое отрицание, инверсия)
ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
И (логическое умножение, конъюнкция)
Операция «ЕСЛИ - ТО» (логическое следование, импликация)
Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний.
Простые высказывания в алгебре логики обозначаются прописными латинскими буквами:
A, B, C, D …

Операция НЕ- логическое отрицание (инверсия)
Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть простое и составное высказывание.
Обозначение операции НЕ, Ā, not А, ¬ А.

Логический элемент
инверсия

Операция ИЛИ – логическое сложение (дизъюнкция нестрогая, объединение)
Выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и составное высказывание.
Обозначения операции: А или В, А or В, А V В.

Логический элемент дизъюнкция

Операция ИЛИ – логическое сложение (дизъюнкция строгая)
Обозначения операции: А xor В, А ∨· В.

Операция И – логическое умножение (конъюнкция)
Выполняет функцию пересечение двух высказываний (аргументов), в качестве которого может быть и простое, и составное высказывание.
Обозначения операции: А и В, А & В, А and В, А Λ В.

Логический элемент конъюнкция

Операция «ЕСЛИ – ТО» - логическое следование (импликация)
Связывает два простых высказывания, из которых первое является условием, а второе – следствием из этого условия.
Обозначения операции: если А, то В; А влечет В; if A then B; А -> В; А => В

Логический элемент импликация
А

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)
Обозначения операции: А ~ В, А <=> В, А Ξ В
Результат операции эквивалентность истинен тогда и только тогда, когда А и В одновременно истины или ложны.

Логический элемент эквивалентность
А<->В

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения).
Логическое выражение(формула) – содержит логические переменные, обозначающие высказывания, соединённые знаками логических операций.

Приоритет логических высказываний
действия в скобках
инверсия
конъюнкция
дизъюнкция
импликация
эквивалентность
Пример:
U ∨ (В ⇒ С) & D ⇔ Ū
Порядок вычисления:
1) Ū
2) (В ⇒ С)
3) (В ⇒ С) & D
4) U ∨ (В ⇒ С) & D
5) U ∨ В ⇒ С & D ⇔ Ū

Минипрактикум
Даны простые высказывания:
A={Процессор – устройство для обработки информации}
B={Сканер – устройство вывода информации}
C={Монитор – устройство ввода информации}
D={Клавиатура – устройство вывода информации}
Определите истинность логических выражений:
(AVB) <=> (C&D);
(A&B) -> (CVD);
(AVB) -> (C&D);
(A&B) <=> (CVD);
(Ā -> B)&(CVD);
(C <=> Ā)&B&D;
(A&B)VC <=> (A&C)V(A&B);
(AVB)VC -> (A&C&D)&(BVD)
Проверка

Правильные ответы
(AVB) <=> (C&D) = 0
(A&B) -> (CVD) = 1
(AVB) -> (C&D) = 0
(A&B) <=> (CVD) = 1
(Ā -> B)&(CVD) = 0
(C <=> Ā)&B&D = 0
(A&B)VC <=> (A&C)V(A&B) = 1
(AVB)VC -> (A&C&D)&(BVD) = 0
A=1
B=0
C=0
D=0
Назад

Ответ: Всегда ЛОЖНО
Минипрактикум
Какое значение будет на выходе F схемы?
Какая формула отражает логическое преобразование, выполняемое схемой?
Ответ: ¬ ((X1 V X2) & X3)

Практическая работа ПК
Создание в электронных таблицах Microsoft Excel(OpenOffice.org Calc) таблиц истинности логических функций:
Конъюнкции
Дизъюнкции
Инверсии
Импликации
Эквивалентности

Составление таблиц истинности по логической формуле
Количество строк - 2ⁿ, где n- это количество логических переменных
Количество столбцов - количество логических переменных + количество логических операций.
Пример: Ā&В
Количество строк = 22 = 4
Количество столбцов = 2 + 2 = 4

Основные законы булевой алгебры

Основные законы булевой алгебры

Формула склеивания
(А В) (А В)=А
(А В) (А В)=А

Формулы поглощения
А (А В)= А
А (А В)=А
А (Ā В)=А В
А (Ā В)=А В

Тестовое задание
Начать тест

Вопросы и задания по теме «Основы логики»
Зачёт по теме «Основы логики»