Особенности решения задач 25 и 26 компьютерного ЕГЭ по информатике

25. Пример
(Демо-2021) Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [174457; 174505], числа, имеющие ровно два различных натуральных делителя, не считая единицы и самого числа. Для каждого найденного числа запишите эти два делителя в таблицу на экране с новой строки в порядке возрастания произведения этих двух делителей. Делители в строке таблицы также должны следовать в порядке возрастания.

25. Общий подход
Пишем решение «в лоб».
Если получили ответ, то СТОП.
Оптимизируем.
Переходим к шагу 2.

25. Решение
##
var startN:= 174457;
var endN:= 174505;
for var x:=startN to endN do begin var count:= 0;
var divs:= |0, 0|;
for var d:=2 to x-1 do
if x.Divs(d) then begin
count += 1;
if count > 2 then break;
divs[count-1]:= d;
end;
if count = 2 then
Println( divs[0], divs[1] );
end;
var startN:= 174457000;
var endN:= 174505000;

25. Ускорение
for var d:=2 to x div 2 do begin
...
end;
Делители в парах:
⇒ один делитель

25. Квадратный корень
##
var x := 100000000000;
while x < 1000000000000 do begin
var sqrtX := sqrt(x);
if x <> sqrtX*sqrtX then
Println(x, x-sqrtX*sqrtX);
x := x + 1;
end;

25. Квадратный корень
for var d:=2 to round(sqrt(x)) do begin
...
end;
1) полный квадрат
5
round
2) два множителя с разностью 1
5
round
round(sqrt(x))

25. Квадратный корень
var d:= 2;
while d*d <= x do begin
...
d += 1;
end;
Без вещественных чисел:

25. Список делителей
##
var startN := 174457;
var endN := 174505;
for var x:=startN to endN do begin
var divs:= new List
;
for var d:=2 to round(sqrt(x)) do
if x.Divs(d) then begin
divs.Add(d);
if d <> x div d then
divs.Add(x div d);
if divs.Count > 2 then break;
end;
if divs.Count = 2 then
Println( divs[0], divs[1] );
end;
var divs:= new List
;
divs.Add(d);
divs.Count
divs.Count
d*d <> x

25. Простые числа
function IsPrime(x: integer): boolean;
begin
Result:= False;
if x <= 1 then Exit;
var d:= 2;
while d*d <= x do begin
if x.Divs(d) then Exit;
d += 1;
end;
Result:= True;
end;

25. Список простых чисел
var primes := new List
;
for var i:=1 to 1000000 do
if IsPrime(i) then
primes.Add(i);
Print( primes.Count );

25. Пример
(Б.С. Михлин) Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [194441; 196500] простые числа, оканчивающиеся на 93.

25. Решение «в лоб»
var startN := 194441;
var endN := 196500;
for var x:=startN to endN do
if (x mod 100 = 93) and
IsPrime(x) then
Println(x);

25. Оптимизация
var startN:= 194493 ;
var endN:= 196500;
var x:= startN;
while x <= endN do begin
if IsPrime(x) then Println(x);
x += 100;
end;
194493
x += 100;
первое, которое оканчивается на 93

25. Пример
Рассматриваются целые числа, принадлежащих числовому отрезку [631632; 684934], которые представляют собой произведение двух различных простых делителей. Найдите такое из этих чисел, у которого два простых делителя больше всего отличаются друг от друга.

25. Решение «в лоб»
var startN := 631632;
var endN := 684934;
var maxDiff := 0;
var xMaxDiff := 0;
for var x:=startN to endN do
for var d:=2 to round(sqrt(x))-1 do
if x.Divs(d) and IsPrime(d) and
IsPrime(x div d) and
(x div d - d > maxDiff) then
begin
maxDiff := x div d - d;
xMaxDiff := x;
end;
Println( xMaxDiff, maxDiff );
var startN:= 63163200;
var endN:= 68493400;

25. Оптимизация
for var x:=startN to endN do
for var d:=2 to round(sqrt(x))-1 do
if x.Divs(d) then begin
if IsPrime(x div d) and
(x div d - d > maxDiff) then begin
maxDiff := x div d - d;
xMaxDiff := x;
end;
break;
end;
break;
if x.Divs(d) then begin
IsPrime(d) первый d всегда простой!

25. Используем только простые
var primes := new List
;
for var i:=1 to round(sqrt(endN)) do
if IsPrime(i) then
primes.Add(i);
Список возможных меньших простых делителей:

25. Используем только простые
for var x:=startN to endN do
foreach var d in primes do
if x.Divs(d) then begin
if IsPrime(x div d) and
(x div d - d > maxDiff) then
begin
maxDiff := x div d - d;
xMaxDiff := x;
end;
break;
end;
foreach var d in primes do
var startN:= 63163200;
var endN:= 68493400;

17. Пример
Назовём натуральное число подходящим, если ровно два из его делителей входят в список (7, 11, 13, 19). Найдите все подходящие числа, принадлежащих отрезку [20 000; 30 000]
В ответе запишите два целых числа: сначала количество, затем среднее арифметическое всех найденных чисел (только целую часть).
Проблемы:
ровно два из его делителей входят в список
среднее арифметическое всех найденных чисел (сумма может быть очень велика!)

17. Ровно два делителя
var startN := 20000;
var endN := 30000;
var count := 0;
for var x:=startN to endN do begin
var divs := | integer(x mod 7 = 0),
ord(x mod 11 = 0),
ord(x.Divs(13)),
1-sign(x mod 19) |;
if divs.Sum = 2 then
count += 1;
end;
Println( count );
int64
double
var divs := | integer(x mod 7 = 0),
ord(x mod 11 = 0),
ord(x.Divs(13)),
1-sign(x mod 19) |;
можно
по-разному!

25. Пример
(Статград) Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [289123456; 389123456] и имеющие ровно три нетривиальных делителя. Для каждого найденного числа запишите в ответе его наибольший нетривиальный делитель.
Проблемы:
долго считает…

25. Решение «в лоб»
var startN := 289123456;
var endN := 389123456;
for var x:=startN to endN do begin
var divs := new List
;
for var d:=2 to x-1 do
if x.Divs(d) then divs.Add(d);
if divs.Count = 3 then
Println( x );
end;

25. Только квадраты
var startN := 289123456;
var endN := 389123456;
for var sqrtX:=trunc(sqrt(startN)) to
ceil(sqrt(endN)) do begin
var x := sqrtX*sqrtX;
var divs := new List
;
for var d:=2 to x-1 do
if x.Divs(d) then divs.Add(d);
if divs.Count = 3 then
Println( x );
end;
Три (нечётное число) нетривиальных делителя – полный квадрат!
for var sqrtX:=trunc(sqrt(startN)) to
ceil(sqrt(endN)) do begin
var x := sqrtX*sqrtX;

25. Основная теорема арифметики
Любое число единственным способом представляется в виде произведения простых чисел:
Число нетривиальных делителей:
Если δ = 3:

25. Только четвёртые степени
var startN := 289123456;
var endN := 389123456;
for var qX:=trunc(sqrt(sqrt(startN))) to
ceil(sqrt(sqrt(endN))) do begin
if IsPrime(qX) then
Println( qX*qX*qX*qX );
end;

25. Готовые функции
(Демо-2021) Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [174457; 174505], числа, имеющие ровно два различных натуральных делителя, не считая единицы и самого числа. Для каждого найденного числа запишите эти два делителя в таблицу на экране с новой строки в порядке возрастания произведения этих двух делителей. Делители в строке таблицы также должны следовать в порядке возрастания.

25. Модуль school
##
uses school;
for var x:=174457 to 174505 do begin
var divs := x.Divisors;
if divs.Count = 4 then
Println( divs[1], divs[2] );
end;
x.Divisors;

25. Функциональный стиль
##
uses school;
(174457..174505)
.Select( x->x.Divisors )
.Where( x->x.Count = 4 ) .Select( x->(x[1],x[2]) )
.PrintLines;
(174457..174505)
последовательность чисел
Презентации С.С. Михалковича:
http://www.pascalabc.net/downloads/Presentations/Tutorials/Sequences.pdf
http://www.pascalabc.net/downloads/Presentations/Tutorials/ProcFuncLambdas.pdf

25. Последовательность
function mySeq( a, b: integer ):
sequence of integer ;
begin
while a <= b do begin
yield a;
a += 1;
end;
end;
begin
foreach var x in mySeq(10,20) do
Print(x);
end.
sequence of integer
yield a;
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

25. Функциональный стиль
(10..20).Select( x->x.Divisors ).PrintLines;
заменить каждый элемент последовательности на список его делителей
[1,2,5,10]
[1,11]
[1,2,3,4,6,12]
[1,13]
[1,2,7,14]
[1,3,5,15]
[1,2,4,8,16]
[1,17]
..
все делители 10
11
12
13

25. Функциональный стиль
(10..20).Select( x->x.Divisors )
.Where( x->x.Count = 4).PrintLines;
отобрать те элементы списка, где количество делителей равно 4
[1,2,5,10]
[1,2,7,14]
[1,3,5,15]
10
14
15

25. Функциональный стиль
(10..20).Select( x->x.Divisors )
.Where( x->x.Count = 4)
.Select( x-> (x[1],x[2]) ).PrintLines;
заменить каждый элемент списка на пару (кортеж), состоящую из двух нетривиальных делителей
(2,5)
(2,7)
(3,5)
10
14
15

25. Пример
(Б.С. Михлин) Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [194441; 196500] простые числа, оканчивающиеся на 93.

25. Функциональный стиль
##
uses school;
(194441..196500)
.Where( x-> (x mod 100 = 93) and x.IsPrime )
.Println;
x.IsPrime
##
uses school;
( 194493 ..196500) .Step(100)
.Where( x->x.IsPrime )
.Println;
.Step(100)
194493

17. Пример
Назовём натуральное число подходящим, если ровно два из его делителей входят в список (7, 11, 13, 19). Найдите все подходящие числа, принадлежащих отрезку [20 000; 30 000]
В ответе запишите два целых числа: сначала количество, затем среднее арифметическое всех найденных чисел (только целую часть).

25. Функциональный стиль
##
uses school;
var selected :=
(20000..30000)
.Select( x->x.Divisors )
.Select( x->(x.Last,
integer(7 in x)+
integer(11 in x)+
integer(13 in x)+
integer(19 in x)) )
.Where( x-> x[1] = 2 )
.Select( x->x[0] );
Println( selected.Count,
trunc(selected.Average) );
ord(...)

25. Функциональный стиль
(70..91).Select( x->x.Divisors ).PrintLines;
заменить каждый элемент последовательности на список его делителей
[1,2,5,7,10,14,35,70]
[1,71]
[1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72] [1,73]
[1,2,37,74]
[1,3,5,15,25,75] [1,2,4,19,38,76]
..
все делители 70

25. Функциональный стиль
(70..91).Select( x->x.Divisors )
.Select( x->(x.Last,
integer(7 in x)+
integer(11 in x)+
integer(13 in x)+
integer(19 in x) ) )
.Println;
построить кортежи:
( число,
количество делителей из [7,11,13,19])
(70,1) (71,0) (72,0) (73,0) (74,0) (75,0) (76,1) (77,2)
..

25. Функциональный стиль
(70..91).Select( x->x.Divisors )
.Select( x->(x.Last, ...) )
.Where( x-> x[1] = 2 )
.Println;
отобрать те, где количество делителей из списка (x[1]) равно 2:
(77,2) (91,2)

25. Функциональный стиль
(70..91).Select( x->x.Divisors )
.Select( x->(x.Last, ...) )
.Where( x-> x[1] = 2 )
.Select( x->x[0] )
.Println;
оставить только сами числа (x[0])
77 91
вывести количество и среднее:
Println( selected.Count,
selected.Average );
2 84

25. Функциональный стиль
##
var z:= (20000..30000)
.Select( x->(x,
|7,11,13,19|.Count(d->x.Divs(d)) )
.Where( x-> x[1] = 2 )
.Select( x->x[0] );
Println( z.Count, z.Average );
##
var z:= (20000..30000)
.Where( x->|7,11,13,19|
.Count(d->x.Divs(d)) = 2 );
Println( z.Count, z.Average );
пары (число, кол-во делителей)

25. Пример
(Статград) Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [289123456; 389123456] и имеющие ровно три нетривиальных делителя. Для каждого найденного числа запишите в ответе его наибольший нетривиальный делитель.

25. Функциональный стиль
##
uses school;
(trunc(sqrt(sqrt(289123456)))..
ceil(sqrt(sqrt(389123456))))
.Where( x->x.IsPrime )
.Select( x->x*x*x*x ) .Println;

26. Сортировка
(Демо-2021) Раз в неделю создаёт архив файлов. Объём диска, может быть меньше, чем суммарный объём файлов. По заданной информации об объёме файлов пользователей и свободном объёме на архивном диске определите максимальное число пользователей, чьи файлы можно сохранить в архиве, а также максимальный размер имеющегося файла, который может быть сохранён в архиве, при условии, что сохранены файлы максимально возможного числа пользователей.

26. Решение в Excel
https://kpolyakov.spb.ru/download/ege26.doc
А. Сидоров:
www.youtube.com/watch?v=LwTZAHsno0k

26. Решение
##
Assign(input, '26.txt');
var (V, n) := ReadInteger2;
var a := ReadArrInteger(n); a.Sort;
var i:=0;
while (i <= a.High) and (V >= a[i]) do begin
V -= a[i];
i += 1;
end;
i.Println;
V += a[i-1];
while (i <= a.High) and (V >= a[i]) do
i += 1;
a[i-1].Print;
a.Sort;

26. Сортировка
##
var A := | 27, 19, 21, 33 |;
A.Sort;
A.Println;
19 21 27 33
A.Sort( (x,y)-> x mod 10-y mod 10 ); A.Println;
21 33 27 19
A.Sort( (x,y)-> y mod 10-x mod 10 );
A.Println;
19 27 33 21
x mod 10-y mod 10
< 0 ⇒ x < y
= 0 ⇒ x = y
> 0 ⇒ x > y

26. Сортировка
21 41 33 19
19 33 41 21
##
uses school;
var A := | 41, 19, 21, 33 |;
A.Sort( (x,y)-> x.Digits.Sum-y.Digits.Sum );
A.Println;
A.Sort( (x,y)-> y.Digits.Sum-x.Digits.Sum );
A.Println;
x.Digits.Sum-y.Digits.Sum
по сумме цифр

26. Сортировка (последовательности)
##
var A := | 27, 19, 25, 33 |;
A.Order.Println;
19 25 27 33
A.OrderDescending.Println;
33 27 25 19

26. Сортировка (последовательности)
##
var A := | 27, 19, 25, 33 |;
A.OrderBy( x->x mod 10 ).Println;
33 25 27 19
A.OrderByDescending( x->x mod 10 ).Println;
19 27 25 33
по последней цифре
x->x mod 10

26. Сортировка (последовательности)
21 41 33 19
19 33 41 21
по сумме цифр
##
uses school;
var A := | 41, 19, 21, 33 |;
A.OrderBy( x->x.Digits.Sum ).Println;
A.OrderByDescending(
x->x.Digits.Sum ).Println;
x->x.Digits.Sum
по сумме цифр

26. Пример
(Е. Джобс) В магазине проводят акция – каждый второй товар со скидкой 50%. При этом в акции участвуют только те товары, цены которых попадают в одну ценовую категорию. Каждая ценовая категория включает 500 целых значений: 1-500, 501-1000, 1001-1501 и т.д. Например, при наличии в чеке только позиций с ценами 300 и 1000 предложение акции не работает.
Необходимо распределить товары в чеке таким образом, чтобы итоговая цена всех товаров была максимально выгодной для магазина. В качестве ответа вывести полученную сумму скидки для всего чека и конечную стоимость самого дорогого проданного по акции товара. В случае получения нецелых значений привести только целые части найденных чисел.

26. Решение на Python
with open("26-44.txt") as F:
N = int(F.readline())
data = []
for i in range(N):
data.append( int(F.readline()) )
data.sort()
# ... продолжение следует
скидки

26. Решение на Python
# ... продолжение
last = 500
discount, costMax = 0, 0
while data:
chunk = [x for x in data if x <= last]
if chunk:
mid = len(chunk)//2
if mid > 0:
discount += 0.5*sum(chunk[:mid])
costMax = 0.5*chunk[mid-1]
data = data[len(chunk):]
last+= 500
print( int(discount), int(costMax) )

26. Решение на PascalABC.NET
##
Assign(input, '26-44.txt');
var N := ReadInteger;
var data := ReadArrInteger(N);
data.Sort;
// ... продолжение следует

26. Решение на PascalABC.NET
# ... продолжение
var (last, discount, costMax):= (500,0.0,0.0);
while data.Count > 0 do begin
var chunk := data.Where(x->x<=last).ToArray;
if chunk.Count > 0 then begin
var mid := chunk.Count div 2;
if mid > 0 then begin
discount += 0.5*chunk[:mid].Sum;
costMax := 0.5*chunk[mid-1];
end;
data := data.Where(x->x>last).ToArray;
end;
last += 500;
end;
Println( trunc(discount), trunc(costMax) );

26. Пример
(А. Кабанов) На складе лежат пакеты с углём различного веса и стоимости. Вес и стоимость записаны на каждом пакете как натуральные числа. Для транспортировки отбираются K пакетов с самой низкой ценой угля за единицу веса; при равной стоимости за единицу веса выбираются пакеты с большим весом. По заданной информации о пакетах с углём и количестве транспортируемых пакетов определите
суммарный вес угля в отправленных пакетах и
стоимость самого тяжёлого отправленного пакета.

26. Решение на Python
with open("26-k6.txt") as F:
data = F.readlines()
N, K = map(int, data[0].split())
del data[0]
data = data[:N]
pairs = []
for i in range(N):
p = tuple( map(int, data[i].split()) )
pairs.append( p )
# ... продолжение следует
строим массив пар (вес, стоимость)
p = tuple( map(int, data[i].split()) )

26. Решение на Python
# ... продолжение
pairs.sort( key =
lambda x: (x[1]/x[0], -x[0]) )
selected = pairs[:K]
print( sum( x[0] for x in selected ) )
weight = [x[0] for x in selected]
ind = weight.index( max(weight) )
print( selected[ind][1] )
цена за единицу веса
по убыванию веса
суммарный вес
стоимость пакета с наибольшим весом

26. Решение на PascalABC.NET
##
Assign(input, '26-k6.txt');
var (N, K):= ReadInteger2;
var pairs := (1..N)
.Select( i->ReadString.ToIntegers )
.Skip(1).ToArray;
pairs.Sort( (x,y)->
x[1]/x[0]-y[1]/y[0] <> 0 ?
sign(x[1]/x[0]-y[1]/y[0]) : y[0]-x[0] );
// ... продолжение следует
цена за единицу веса
условие
если верно
по убыванию веса
если неверно

26. Решение на PascalABC.NET
# ... продолжение
var selected := pairs[:K];
var weight := selected.Select( x->x[0] ).ToArray;
weight.Sum.Println;
var ind := weight.IndexOf( weight.Max );
selected[ind][1].Println;
суммарный вес
стоимость пакета с наибольшим весом

26. Пример
В текстовом файле записан набор натуральных чисел. Гарантируется, что все числа различны. Необходимо определить, сколько в наборе таких пар нечётных чисел, что их среднее арифметическое тоже присутствует в файле, и чему равно наибольшее из средних арифметических таких пар.

26. Решение на Python
with open("26.txt") as F:
N = int(F.readline())
data = [int(s) for s in F]
data.sort()
averages = []
for i in range(N-1):
for j in range(i+1,N):
if data[i] % 2 == 1 and data[j] % 2 == 1:
s = data[i] + data[j]
averages.append( s//2 )
averages.sort()
# ... продолжение следует
находим все подходящие средние

26. Решение на Python (плохое)
# ... продолжение
count = 0
ma = 0
for av in averages:
if av in data:
count += 1
ma = max( ma, av )
print(count, ma)
for av in averages:
if av in data:
сложность O(N2)

26. Идея хорошего решения
9, 10, 14, 13, 8, 11
Все пары нечётных чисел:
(9, 13) (9, 11) (13, 11)
11
10
12
8, 9, 10, 11, 13, 14
10
11
12

26. Решение на Python
# ... продолжение
selected = []
i = 0
for av in averages:
while i < N and data[i] < av:
i += 1
if i < N and data[i] == av:
selected.append(av)
print( len(selected), selected[-1] )

26. Решение на PascalABC.NET
##
Assign(input, '26.txt');
var N:= ReadInteger;
var data:= ReadArrInteger(N);
data.Sort;
var averages := new List
;
for var i:=0 to data.High-1 do
for var j:=i+1 to data.High do
if data[i].IsOdd and
data[j].IsOdd then
averages.Add((data[i]+data[j]) div 2);
averages.Sort;
// ... продолжение следует

26. Решение на PascalABC.NET
##
Assign(input, '26.txt');
var N:= ReadInteger;
var data:= ReadArrInteger(N);
data.Sort;
var averages := new List
;
foreach var (x,y) in data.Combinations(2) do
if x.IsOdd and y.IsOdd then
averages.Add((x+y) div 2);
averages.Sort;
// ... продолжение следует
foreach var (x,y) in data.Combinations(2) do
if x.IsOdd and y.IsOdd then
averages.Add((x+y) div 2);
или так:

26. Решение на PascalABC.NET
# ... продолжение
var selected := new List
;
var i:= 0;
foreach var av in averages do begin
while (i < N) and (data[i] < av) do
i += 1;
if (i < N) and (data[i] = av) then
selected.Add(av);
end;
Print( selected.Count, selected.Last )

Благодарности
Автор благодарит
Алексея Богданова (Alex Danov)
https://www.youtube.com/c/AlexDanov
Станислава Михалковича
https://pascalabc.net
за полезные замечания и предложения.