Позиционные системы счисления. 14 (повышенный уровень, время – 5 мин). Часть 2. Задания типа Степени

Что нужно знать:
Вывод формулы: pN – pK = pK · (pN-K – 1) = (pN-K – 1) · pK
Примеры
© Е.А. Лапина, 2019

Устно…!!!
Дано: Х= 22020 + 22003+ 212+ 29
© Е.А. Лапина, 2019
Сколько цифр в 2-ой записи числа Х?
Сколько единиц в 2-ой записи числа Х?
Сколько нулей в 2-ой записи числа Х?

Устно…!!!
Дано: Х= 7119 + 7100+ 710+ 75 + 73 + 7
© Е.А. Лапина, 2019
Сколько цифр в 7-ой записи числа Х?
Сколько единиц в 7-ой записи числа Х?
Сколько нулей в 7-ой записи числа Х?

Дано: Х= 22020 + 22003+ 212- 29
© Е.А. Лапина, 2019
Сколько цифр в 2-ой записи числа Х?
Сколько единиц в 2-ой записи числа Х?
Сколько нулей в 2-ой записи числа Х?

Дано: Х= 7119 + 7100+ 710- 75 + 72
© Е.А. Лапина, 2019
Сколько цифр в 7-ой записи числа Х?
Сколько «6» в 7-ой записи числа Х?

Образцы решения заданий егэ_14 («степени»)
Пример № 1: Сколько единиц в двоичной записи числа
22018 + 42016 – 8600 + 6 ?
Решение
// приводим все числа к степеням двойки, разложив 6 как 22+21
22018 + 42016 – 8600 + 6 = 22018 + (22)2016 - (23)600 + 22 + 21 =
= 22018 + 24032 – 21800 + 22 + 21 =
2) // переставляем слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
= 24032 + 2 2018 – 21800 + 22 + 21 =
3) // применяем знакомые формулы…:
= 24032 + 2 2018 – 21800 + 22 + 21 =
1
218
1
1
+
+
+
=
221
© Е.А. Лапина, 2019

Образцы решения заданий егэ_14 («степени»)
Пример № 2 (99): Сколько единиц в двоичной записи числа
81234 – 4234 + 21620 – 108?
Решение
81234 – 4234 + 21620 – 108 = (23)1234 – (22)234 + 21620 – 26 – 25 – 23 – 22 =
= 23072 – 2468 + 21620 – 26 – 25 – 23 – 22=
2) = 23072 + 21620 – 2468– 26 – 25 – 23 – 22 =
3) стоящие два знака «минус» подряд, не позволяет сразу использовать формулу
Выход есть! Использовать равенство:
= 23072 + 21620 – 2469+ 2468 – 27 + 26 –26 + 25 – 24 + 23 - 22 =
=23072 + (21620 – 2469)+ (2468 – 27)+ (25 – 24)+ (23 - 22 )=
1
1151
461
+
+
+
=
1615
1
1
+
© Е.А. Лапина, 2019

Вывод равенства:
Примеры:
Только для степеней двойки !!! :(
© Е.А. Лапина, 2019

Пример № 3 (Р-21)
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа
4512 + 8512 – 2128 – 250
Общая идея: количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа (его длине!) минус количество единиц
Решение
// Учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 28 – 22 – 21, приведём все числа к степеням двойки:
4512 + 8512 – 2128 – 250 = (22)512 + (23)512 – 2128 – 28 + 22 + 21 =
=21536 + 21024 – 2128 – 28 + 22 + 21=
// старшая степень двойки 21536, значит двоичная запись этого числа содержит 1537 знаков;
// Используя равенство , получаем:
= 21536 + 21024 – 2129 + 2128 – 28 + 22 + 21
1
895
1
+
+
+
120
1
+
=
1018 «1»
1537-1018=519 («0»)
Ответ: 519
© Е.А. Лапина, 2019

«Степени» с другими основаниями
Пример № 4. (Р-22).
Значение арифметического выражения: 98 + 35 – 9
записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Решение:
98 + 35 – 9 = 316 + 35 – 32
Ответ: 3.
1(«1»)
3 «2»
© Е.А. Лапина, 2019